高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算第2课时导数的运算法则教学案新人教A选修2-2

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∴f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，故选C.

ee4．若f(x)＝x－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为( ) A．(0，＋∞) C．(2，＋∞)

2

2

B．(－1,0)∪(2，＋∞) D．(－1,0)

解析：选C ∵f(x)＝x－2x－4ln x， 4

∴f′(x)＝2x－2－＞0，

x整理得

x＋1

xx－2

＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，

又因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以x＞2.

5．已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________________． 解析：∵y＝ln(x＋a)，∴y′＝

1

，设切点为(x0，y0)， x＋a1

＝2， x0＋a则y0＝2x0－1，y0＝ln(x0＋a)，且1

解之得a＝ln 2.

21

答案：ln 2

2

6．曲线y＝在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x＋y＋4x＋3＝0上的点

2x－1的最近距离是____________．

解析：y′＝－

12x－1

2

x22

，则y′

| ＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即xx＝1

＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝22，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为22－1.

答案：22－1

7．已知曲线f(x)＝x＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0. (1)求a，b的值；

1

(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方

4程．

解：(1)∵f(x)＝x＋ax＋b的导数f′(x)＝3x＋a， 由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6， 解得a＝1，b＝－16.

3

2

3

9

(2)∵切线与直线y＝－1

4x＋3垂直，

∴切线的斜率k＝4. 设切点的坐标为(x0，y0)， 则f′(x2

0)＝3x0＋1＝4，∴x0＝±1.

由f(x)＝x3

＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14， 或y0＝－1－1－16＝－18.

则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14.

8．设fn(x)＝x＋x2

＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2. (1)求fn′(2)；

n(2)证明：fn(x)在???0， 23??12?内有且仅有一个零点(记为an)，且0＜an－2＜3n＋1. 解：(1)由题设fn－1

n′(x)＝1＋2x＋…＋nx.

所以fn－2

n′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2＋n·2

n－1

，①

则2fn－1

n′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2

＋n·2n，②

①－②得，－f1＋2＋22

＋…＋2n－1

n′(2)＝－n·2n

n＝1－21－2－n·2n＝(1－n)·2n－1， 所以fnn′(2)＝(n－1)·2＋1. (2)因为f(0)＝－1＜0，

2??2?nf?2?3?3??1－??3?????n???＝1－2－1＝1－2×??2?3??n?≥1－2×??2?3??2?

＞0，

3因为x≥0，n≥2.

所以f2

nn(x)＝x＋x＋…＋x－1为增函数， 所以fn(x)在???0， 23???内单调递增， 因此f在?2n(x)??

0， 3???内有且仅有一个零点an. fx－xn＋1

由于n(x)＝1－x－1，

＝fan＋1

所以0n－ann(an)＝1－a－1，

n10

11n＋1112

由此可得an＝＋an＞，故＜an＜.

22223

n11n＋11?2?n＋12

所以0＜an－＝an＜×??＝n＋1.

222?3?3

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