高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算第2课时导数的运算法则教学案新人教A选修2-2

(2)解：①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 12

由f(x)＝ax＋ln x，得f′(x)＝2ax＋，

x所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.

②因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈1

(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点，

x1

即f′(x)＝0?2ax＋＝0有正实数解，

x即2ax＝－1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．

关于函数导数的应用及其解决方法

(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．

(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．

[活学活用]

1532

若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x和y＝ax＋x－9都相切，则a的值为( )

425

A．－1或－

64725C．－或－

464

21

B．－1或 47

D．－或7

4

3

3

2

解析：选A 设过点(1,0)的直线与曲线y＝x相切于点(x0，x0)， 则切线方程为y－x0＝3x0(x－x0)，即y＝3x0x－2x0. 3

又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x0＝0或x0＝.

2当x0＝0时，直线方程为y＝0.

15252

由y＝0与y＝ax＋x－9相切可得a＝－.

46432727

当x0＝时，直线方程为y＝x－.

244

2727152

由y＝x－与y＝ax＋x－9相切可得a＝－1.

444

3

2

2

3

5

层级一 学业水平达标

1．已知函数f(x)＝ax＋c，且f′(1)＝2，则a的值为( ) A．1 C．－1

22

B.2 D．0

解析：选A ∵f(x)＝ax＋c，∴f′(x)＝2ax， 又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.

2．函数y＝(x＋1)(x－1)在x＝1处的导数等于( ) A．1 C．3

2

2

B．2 D．4

2

2

解析：选D y′＝[(x＋1)]′(x－1)＋(x＋1)(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)＝3x＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.

3．曲线f(x)＝xln x在点x＝1处的切线方程为( ) A．y＝2x＋2 C．y＝x－1

B．y＝2x－2 D．y＝x＋1

2

解析：选C ∵f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.

32

4. 已知物体的运动方程为s＝t＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速

t度为( )

A.C.19 415 4

B.D.17 413 4

3313

解析：选D ∵s′＝2t－2，∴s′|t＝2＝4－＝.

t44

5．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( ) A．0 C．2

解析：选D y′＝a－

3

B．1 D．3

1

，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3. x＋1

6．曲线y＝x－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y′＝3x－1，∴y′|x＝1＝3×1－1＝2. ∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.

6

2

2

答案：2x－y＋1＝0

132

7．已知曲线y1＝2－与y2＝x－x＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝

x________.

11

解析：由题知y′1＝2，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为2，

x2

3x2

0

－2x3x0－2x0＋20＋2，所以x2

＝3，所以x0＝1. 0

答案：1

8．已知函数f(x)＝f′??π?4???cos x＋sin x，则f??π?4???的值为________． 解析：∵f′(x)＝－f′??π?4???

sin x＋cos x， ∴f′??π?4???＝－f′??π?4???×222

＋2，

得f′??π?4???

＝2－1.

∴f(x)＝(2－1)cos x＋sin x. ∴f??π?4???＝1. 答案：1

9．求下列函数的导数： x(1)y＝xsin2

x；(2)y＝e＋1

ex－1

；

(3)y＝

x＋cos xx＋sin x；(4)y＝cos x·sin 3x.

解：(1)y′＝(x)′sin2

x＋x(sin2

x)′

＝sin2

x＋x·2sin x·(sin x)′＝sin2

x＋xsin 2x. xx(2)y′＝ex＋1′

e－1－e＋1

ex－1′

ex－1

2

x＝

－2eex－1

2

.

(3)y′＝x＋cos x′x＋sin x－x＋cos xx＋sin x′

x＋sin x2

＝1－sin xx＋sin x－x＋cos x1＋cos xx＋sin x2

＝

－xcos x－xsin x＋sin x－cos x－1

x＋sin x2. x0

7

(4)y′＝(cos x·sin 3x)′

＝(cos x)′sin 3x＋cos x(sin 3x)′ ＝－sin xsin 3x＋3cos xcos 3x ＝3cos xcos 3x－sin xsin 3x.

10．偶函数f(x)＝ax＋bx＋cx＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．

解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1. 又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．

故ax＋bx＋cx＋dx＋e＝ax－bx＋cx－dx＋e. ∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax＋cx＋1.

∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2， ∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1. ∵f′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1. 59∴a＝，c＝－. 22

5492

∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x－x＋1.

22

层级二 应试能力达标

1．若函数f(x)＝ax＋bx＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( ) A．－1 C．2

3

4

24

2

4

3

2

4

3

2

4

3

2

B．－2 D．0

解析：选B ∵f′(x)＝4ax＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2. 2．曲线y＝xeA．2e C．2

解析：选C 函数的导数为f′(x)＝e

x－1

在点(1,1)处切线的斜率等于( )

B．e D．1

x－1

＋xe

x－1

＝(1＋x)e

x－1

，

当x＝1时，f′(1)＝2，即曲线y＝xeC.

x－1

在点(1,1)处切线的斜率k＝f′(1)＝2，故选

3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝( ) A．e C．－e

－1－1

B．－1 D．－e

解析：选C ∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x， 1

∴f′(x)＝2f′(e)＋，

x 8