4一元高次方程及其解法

《数学思维与能力训练》辅导讲义

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一元高次方程及其解法

【知识要点】

1、 如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元 整式方程。

2、一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n (n是正整数)，这个方程叫做一元n次方程；其中次数n大于2的方程统称为一元高次方程，简称高次方程。

3、如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程叫二项方程。

关于x的一元n次二项方程的一般形式为：ax n + b = 0 (a≠0，b≠0，n为正整数) 当n为奇数时，方程有且只有一个实数根

当n为偶数时，如果ab < 0时，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数 如果ab > 0时，那么方程没有实数根 4、一般地，只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程 关于x的双二次方程的一般形式为：ax 4 + bx 2 + c = 0 (a≠0)

解双二次方程的一般过程是：换元、解一元二次方程、回代 【夯实基础】 ［例题1］

1、下列方程是一元高次方程的是 ( )

① (x 2 – 3x) 2 – 3 (x 2 – 3x) – 4 = 0 ② x (x 2 – 2x) – 3 = x 3 – 4 ③

(x3?2)2?2?4 ④ x3?1?8 3x ⑤ x (x + 1) (x + 2) (x + 3) = 0

A、①② B、③④ C、④⑤ D、①⑤

2、下列四个命题中正确的是 ( ) A、方程x 2 – 3x – 4 = x中一次项是 – 3x B、方程x 2 = 1的实数根只有1

C、关于x的方程2x 2 + mx = 0中有一根是零 D、方程 (x + 2) (x + 3) = x (x + 2 )是一元二次方程

［例题2］

1、解方程 x 3 – 9x 2 + 20x = 0

3、解方程 x 4 – x 2 – 20 = 0

5、解方程 (x 2 + 3x) (x 2 + 3x + 2) = 120

2、解方程 x 3 – 4x 2 – 4x + 16 = 0 4、解方程 (x 2 – x) 2 – 4 (x 2 – x) – 12 = 0 6、解方程 x 4 + 5x 3 + 2x 2 + 5x + 1 = 0

【小试牛刀】

1、解方程 (ax) 2 + x 2 = a + 1

3、解方程 x 3 – 3x 2 – 6x + 18 = 0

5、解方程 (6x 2 – 7x) 2 – 2 (6x 2 – 7x) – 3 = 0

2、解方程 x 3 – 10x 2 + 9x = 0 4、解方程5x 4 – 21x 2 + 4 = 0 【拓展探究】

1、解方程 (x 2 – 2x + 3) 2 = 4x 2 – 8x + 9

2、解方程 (x + 1) (x + 2) (x – 4) (x – 5) = 40

3、已知关于x的方程 x 2 + ax + b = 0只有一个实数根为1，求a与b的值