2019届北京市海淀区高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

法三：假设棱上存在点，使得，

设因为

，所以，所以

所以有，这个方程组无解

所以假设错误，即问题得证 【点睛】

本题主要考查空间位置的证明和二面角的求解.线面垂直可以通过线线垂直或者面面垂直来实现；二面角一般利用平面的法向量解决.

18．椭圆的左焦点为F，过点的直线与椭圆交于不同两点A,B

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若点B关于轴的对称点为B’，求

的取值范围.

【答案】（1）； （2）.

，从而可求离心率；

【解析】（Ⅰ）利用椭圆的方程得到

（Ⅱ）结合韦达定理求出目标式的表达式，根据式子的结构选择合适的方法求解范围. 【详解】 （Ⅰ） 因为

，所以

所以离心率（Ⅱ）法一：设

显然直线存在斜率，设直线的方程为

所以，所以

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，所以

所以因为

所以

因为

所以

因为法二：设

，所以

当直线是轴时，

当直线不是轴时，设直线的方程为

所以，所以，所以

，

所以因为

所以

因为

所以

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因为综上，【点睛】

本题主要考查椭圆的性质及范围问题.范围问题一般求解思路是：先把目标式求出，再结合目标式的特点选择合适的方法，常用均值定理，导数，二次函数等工具来完成.

，所以

的取值范围是

.

19．已知函数（Ⅰ）当

．

时，求曲线

在点

处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求证：对任意成立.

【答案】（1）； （2）见解析.

【解析】（Ⅰ）先求导数得到切线斜率，再求解切线方程； （Ⅱ）通过求解【详解】

的最小值来比较大小.

（Ⅰ）因为

所以

当时，

所以，而

曲线在处的切线方程为

化简得到（Ⅱ）法一：

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因为，令

得当

时，，

，

在区间

的变化情况如下表:

所以

在

0 0 极大值 极小值 上的最小值为中较小的值，

而，所以只需要证明

因为，所以

设，其中，所以

令当

，得时，，

，

， 在区间

的变化情况如下表:

0 极小值 所以在上的最小值为，而

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