4.2.3直线与圆的方程的应用教案

4、2、3直线与圆的方程的应用（一）

【教学目标】

利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题 【教学重难点】

教学重点：直线的知识以及圆的知识 教学难点：用坐标法解决平面几何. 【教学过程】 一、复习准备：

(1) 直线方程有几种形式? 分别为什么? (2) 圆的方程有几种形式?分别是哪些?

(3) 求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程? (4) 直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢? (5) 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ (6) 如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系? 二、讲授新课： 提出问题、自主探究

例1、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：圆拱跨度AB＝84米，拱高A6P6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：支柱A3P3的长度（精确到0.01米）．

方法一：在Rt?AA6O中 R =42

P3C2

2

2

+(R-15) 可求出半径R，而在Rt?P3CO中

2

?R2?21，

2∴A3P3?P3C?A6O，从而可求得A3P3长度。

能否用学过的圆方程的有关知识来尝试求解？

方法二：先求圆的方程，再把求A3P3长度看成P3的纵坐标。 首先应建立坐标系。

如何建系？四种不同的建系方案：

分组解答，

同学自选一种建系方案，同桌之间可以互相协作，相互探讨。

归纳总结、巩固步骤 总结解决应用问题的步骤：

(1)审题----分清条件和结论，将实际问题数学化；

(2)建模----将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建立数学模型；

(3)解模----求解数学问题，得出数学结论；

(4) 还原----根据实际意义检验结论，还原为实际问题． 流程图：

实际问题 数学问题 数学结论

（审题） （建模） （解模） （还原）

变式训练：某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米。有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高3米，请问此船能否通过？当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？

深入讨论、提炼思想

在上面问题求解过程中，我们通过“建系”，利用直线和圆的方程来完成平面几何中的计算。这一“新方法”在初等几何的证明中也非常有用，如证明 “平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和”，再 看下例：

例2、已知内接于圆P的四边形ABCD的对角线互相垂直，

PE?AD于E，探求线段PE与BC的数量关系。

实际问题结论

(1)PE?12BC.

思路：把四边形特殊化，看成正方形，那么圆心与正方形的中心重合，此时

PE?12BC.

对于一般情形，这个结论正确吗？作如下猜想：“已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边边长一半”，能否用学过的平面几何知识加以证明？

证明：（平面几何法）连接AP并延长交圆P于点F，连接DF，CF， ∵∠3=∠4 ∴在Rt⊿ADF和Rt⊿AHB中∠1=∠2 ∵ ∠5=∠1+ ∠7， ∠6=∠2+ ∠7 ∴ ∠5= ∠6 ① 又∵∠ACF=900 且 ∠CHD=900 ∴ CF∥BD ②

由① ②可得四边形CFDB为等腰梯形∴|CB|=|FD| 又∵|FD|=2|PE| ∴|BC|=2|PE | 用“建系”这一新工具尝试

证明：（解析几何法）以AC，BD交点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设A(a,0)，B(0,b)，C(c,0)，D(d,0).

用勾股定理， PE?R?AE22，其中E为AD中点；

先求出圆心P的坐标及直线AD的方程，然后用点到直线距离公式求PE的长；先求出圆心P与点E的坐标，再用两点间距离公式求PE的长。

设圆方程为(x-m )+ (y-n) =r，考虑到圆与x轴交于A、C两点，令y=0，得关于x的一元二次方程x2-2mx+(m2+n2-r2)=0，然后利用韦达定理可得圆心的横坐标m?得圆心的纵坐标n?b?d2a?c22

2

2

，同理可

。

应用圆的方程求圆心坐标，正是圆方程的具体应用。

过圆心作两坐标轴的垂线，利用垂径定理来解决，很快可以求出

a?cb?d(,)。 圆心的P坐标

22 变式练习：设Q为BC的中点，则QH//PE，如何用代数方法证明这一结论呢？

还能有什么其他发现？

（1）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则一组对

边的平方和等于另一组对边的平方和；

（2）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则两条对角线之积等于两组对边之积的和；

（3）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则经过对角线交点作其中一边的垂线，一定平分这一条边的对边。

．．．．．． 课堂小结：

（1）直线与圆的方程在实际问题和平面几何中的一些应用； （2）解决实际问题的具体步骤------审题、建模、解模、还原；

（3）解决几何问题的新方法------解析法，主要数学思想是通过代数方法研究几何问题，达到数形结合的一种完美境界。用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：

第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论； 【板书设计】 一、指数函数 1．定义 2. 图像 3. 性质 二、例题 例1 变式1 例2 变式2

【作业布置】

习题4.2B组的2、3、4题

4、2、3直线与圆的方程的应用（二）

【教学目标】

1、坐标法求直线和圆的应用性问题； 2、面积最小圆、中点弦问题的解决方法. 【教学重难点】

教学重点：坐标法求直线和圆的应用性问题． 教学难点：面积最小圆、中点弦问题的解决方法． 【教学过程】

1、面积最小圆问题、中点弦轨迹问题