2019年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列

的面积均相等.设OAn?an.若a1?1,a2?2,则数列?an?的通项公式是_________.

【答案】

（2019年高考北京卷（理））若等比数列{an}满足an?3n?2,n?N* 22．

a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=_______;前n项和Sn=___________.

【答案】2,2n?1（2019年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知等?2 23．

2比数列?an?是递增数列,Sn是?an?的前n项和,若a1，a3是方程x?5x?4?0的两个根,则

S6?____________.

【答案】63 三、解答题

24．（2019年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设函数

x2x2xnfn(x)??1?x?2?2?K?2(x?R,n?Nn),证明:

23nn(Ⅰ)对每个n?N,存在唯一的xn?[,1],满足fn(xn)?0;

23(Ⅱ)对任意p?N,由(Ⅰ)中xn构成的数列?xn?满足0?xn?xn?p?n1. n

xnx2x3x4xn【答案】解: (Ⅰ) ?当x?0时，y?2是单调递增的?fn(x)??1?x?2?2?2???2是x

n234n的单调递增函数,也是n的单调递增函数. 且fn(0)??1?0,fn(1)??1?1?0.

?存在唯一xn?(0,1],满足fn(xn)?0，且1?x1?x2?x3?xn?0

x2x3x4xnx21?xn?1x21当x?(0,1).时,fn(x)??1?x?2?2?2???2??1?x????1?x??41?x41?x2222

x12?0?fn(xn)??1?xn?n??(xn?2)(3xn?2)?0?xn?[,1]

41?xn3n综上,对每个n?N,存在唯一的xn?[,1],满足fn(xn)?0;(证毕)

223(Ⅱ) 由题知1?xn?xn?pxxxx?0,fn(xn)??1?xn?n2?n2?n2???n2?0

234n234nfn?p(xn?p)??1?xn?p?减

xn?p222?xn?p323?xn?p424???xn?pn32n?xn?pn?12(n?1)4???xn?pn?p2(n?p)?0上式相

:

234nxn?pxn?pxn?pxn?pxn?pxn?pxnxnxnxnxn?2?2?2???2?xn?p?2?2?2???2????234n234n(n?1)2(n?p)22nn?1n?pxn-xn?p?（?xn?p-xn2222?xn?p-xn3233?xn?p-xn4244???xn?p-xnn2nn）?（xn?pn?12(n?1)???xn?pn?p2(n?p) ）1111???xn-xn?p?. nn?pnn法二:

25．（2019年高考上海卷（理））(3 分+6分+9分)给定常数c?0,定义函数

*数列a1,a2,a3,L满足an?1?f(an),n?N.

*(1)若a1??c?2,求a2及a3;(2)求证:对任意n?N,an?1?an?c,;

f(x)?2|x?c?4|?|x?c|,

(3)是否存在a1,使得a1,a2,Lan,L成等差数列?若存在,求出所有这样的a1,若不存在,说明理由.

【答案】:(1)因为c?0,a1??(c?2),故a2?f(a1)?2|a1?c?4|?|a1?c|?2,

a3?f(a1)?2|a2?c?4|?|a2?c|?c?10

(2)要证明原命题,只需证明f(x)?x?c对任意x?R都成立,

f(x)?x?c?2|x?c?4|?|x?c|?x?c

即只需证明2|x?c?4|?|x?c|+x?c

若x?c?0,显然有2|x?c?4|?|x?c|+x?c=0成立;

若x?c?0,则2|x?c?4|?|x?c|+x?c?x?c?4?x?c显然成立

*综上,f(x)?x?c恒成立,即对任意的n?N,an?1?an?c

(3)由(2)知,若{an}为等差数列,则公差d?c?0,故n无限增大时,总有an?0 此时,an?1?f(an)?2(an?c?4)?(an?c)?an?c?8 即d?c?8

故a2?f(a1)?2|a1?c?4|?|a1?c|?a1?c?8, 即2|a1?c?4|?|a1?c|?a1?c?8,

当a1?c?0时,等式成立,且n?2时,an?0,此时{an}为等差数列,满足题意; 若a1?c?0,则|a1?c?4|?4?a1??c?8,

此时,a2?0,a3?c?8,L,an?(n?2)(c?8)也满足题意; 综上,满足题意的a1的取值范围是[?c,??)?{?c?8}.

26．（2019年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满

分10分. 设

数

列

k个644474448k-1k-1）k，L，（-1）k1，-2，-2,3,3,3，-4，-4，-4，-4，L，（-1?an?：,即当

（k?1）k（kk?1）k?1（-1）k,记Sn?a1?a2L?an?n?N??,对于l?N?,定义?n?k?N??时,an??22集合Pl?nSn是an的整数倍，n?N?，且1?n?l (1)求集合P11中元素的个数; (2)求集合P2000中元素的个数.

【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析

??解决问题能力及推理论证能力. (1)

解

:

由

数

列

?an?的定义

得:a1?1,a2??2,a3??2,a4?3,a5?3,a6?3,a7??4,a8??4,a9??4,a10??4,a11?5 ∴S1?1,S2??1,S3??3,S4?0,S5?3,S6?6,S7?2,S8??2,S9??6,S10??10,S11??5 ∴S1?1?a1,S4?0?a4,S5?1?a5,S6?2?a6,S11??1?a11 ∴集合P11中元素的个数为5

(2)证明:用数学归纳法先证Si(2i?1)??i(2i?1) 事实上,

① 当i?1时,Si(2i?1)?S3??1?(2?1)??3 故原式成立

② 假设当i?m时,等式成立,即Sm(2m?1)??m?(2m?1) 故原式成立 则:i?m?1,时,

S(m?1)[2(m?1)?1}?S(m?1)(2m?3}?Sm(2m?1)?(2m?1)2?(2m?2)2??m(2m?1)?(2m?1)2?(2m?2)2

??(2m2?5m?3)??(m?1)(2m?3)

综合①②得:Si(2i?1)??i(2i?1) 于是