高考数学：一轮复习配套讲义：第2篇 第3讲 函数的奇偶性与周期性

A．1

1B．－2 D．0

1

C．1或－2

1

解析 由2a2－a－1＝0，得a＝1或－2. 答案 C

－2x＋b

2．(2014·山东省实验中学诊断)已知定义域为R的函数f(x)＝x＋1是奇函数，

2＋a则a＝________，b＝________.

－2＋1

解析 由f(0)＝0，得b＝1，再由f(－1)＝－f(1)，得＝－，解得a

1＋a4＋a＝2. 答案 2 1

1－2＋1

对应学生用书P231

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(2013·广东卷)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是( )． A．4 B．3 C．2 D．1

解析 由奇函数的概念可知y＝x3，y＝2sin x是奇函数． 答案 C

2．(2013·温州二模)若函数f(x)＝A．0 B．1 C．2 D．4 解析 由f(－1)＝－f(1)，得

sin?－1?－sin 1

＝，

?－1＋a?2?1＋a?2sin x

是奇函数，则a的值为( )． ?x＋a?2∴(－1＋a)2＝(1＋a)2解得a＝0.

答案 A

3．(2014·哈尔滨三中模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于1?2?直线x＝3对称，则f?－3?＝( )．

??A．0 B．1 C．－1 D．2

1?2??2?解析 由f(x)是奇函数可知，f(0)＝0，f?－3?＝－f?3?.又y＝f(x)的图象关于x＝3对

?????2??2?称，所以f(0)＝f?3?，因此f?－3?＝0.

????答案 A

4．(2014·湛江一测)已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，若f(－2)＝2，则f(2 014)等于( )． A．2 012 B．2 C．2 013 D．－2 解析 ∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，

∴f(2 014)＝f(2)，又f(x)为奇函数，∴f(2)＝－f(－2)＝－2，即f(2 014)＝－2. 答案 D

5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )． A．(1,3) B．(－1,1)

C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1) 解析 f(x)的图象如图．

当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0，得x∈(－1,0)； 当x∈(0,1)时，由xf(x)>0，得x∈?； 当x∈(1,3)时，由xf(x)>0，得x∈(1,3)． ∴x∈(－1,0)∪(1,3)，故选C. 答案 C 二、填空题

6．(2014·温岭中学模拟)f(x)为奇函数，当x＜0时，f(x)＝log2(1－x)，则f(3)＝________.

解析 f(3)＝－f(－3)＝－log24＝－2. 答案 －2

7．(2013·青岛二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝f(x)?5?对任意x∈R成立，当x∈(－1,0)时f(x)＝2x，则f?2?＝________.

???5??1??1?解析 因为f(x＋2)＝f(x)，故f?2?＝f?2?＝－f?－2?＝1.

??????答案 1

8．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围是________．

解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． ∴不等式f(1－m)＜f(m)?f(|1－m|)＜f(|m|)． 又当x∈[0,2]时，f(x)是减函数．

?|1－m|＞|m|，

∴?－2≤1－m≤2，?－2≤m≤2，

1??

答案 ?－1，2?

??三、解答题

1

解得－1≤m＜2. 9．f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式． 解 当x＜0时， －x＞0，则

f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1. 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)， 所以当x＜0时，f(x)＝2x2＋3x－1. 因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.

?

综上可得f(x)的解析式为f(x)＝?0，x＝0，

?2x2＋3x－1，x＜0.

－2x2＋3x＋1，x＞0，

10．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当

－1≤x≤0时，f(x)＝－x. (1)判定f(x)的奇偶性；

(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式． 解 (1)∵f(1＋x)＝f(1－x)， ∴f(－x)＝f(2＋x)． 又f(x＋2)＝f(x)， ∴f(－x)＝f(x)， ∴f(x)是偶函数．

(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]， 则f(x)＝f(－x)＝x；

进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0， f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.

?－x，x∈[－1，0?，

故f(x)＝?x，x∈[0，1?，

?－x＋2，x∈[1，2].

能力提升题组 (建议用时：25分钟)

一、选择题

1．(2013·昆明模拟)已知偶函数f(x)对?x∈R都有f(x－2)＝－f(x)，且当x∈[－1,0]时f(x)＝2x，则f(2 013)＝( )． 11A．1 B．－1 C.2 D．－2 解析 由f(x－2)＝－f(x)得f(x－4)＝f(x)，所以函数的周期是4，故f(2 013)＝1

f(4×503＋1)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝2. 答案 C

2．(2014·郑州模拟)已知函数f(x＋1)是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f(x2)－f(x1)](x2?1?－x1)＞0恒成立，设a＝f?－2?，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )．

??A．b＜a＜c B．c＜b＜a