高考数学：一轮复习配套讲义：第2篇 第3讲 函数的奇偶性与周期性

第3讲 函数的奇偶性与周期性

[最新考纲]

1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．

3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．

知 识 梳 理

1．函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特点 关于y轴对称 奇函数 关于原点对称 2.奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)． (2)在公共定义域内

①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 3．周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

辨 析 感 悟

1．对奇偶函数的认识及应用

(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(×)

(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)

(3)(教材习题改编)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)

(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)

1

(5)(2013·山东卷改编)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x＋x，则f(－

2

1)＝－2.(√)

(6)(2014·菏泽模拟改编)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是[－2,2]．(×) 2．对函数周期性的理解

(7)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√)

(8)(2014·枣庄一模改编)若y＝f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)既是周期函数又是奇函数．(×) [感悟·提升]

1．两个防范 一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，如(1)；

二是若函数f(x)是奇函数，则f(0)不一定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0)＝0，如(2)．

2．三个结论 一是若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称，如(4)； 二是若对任意x∈D都有f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是以2a为周期的函数；若对任1

意x∈D都有f(x＋a)＝±(f(x)≠0)，则f(x)也是以2a为周期的函数，如(7)；

f?x?三是若函数f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)既是周期函数又是偶函数，如(8)中因为y＝f(x)是周期函数，设其周期为T，则有f(x＋T)＝f(x)，两边求导，得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，即f′(x＋T)＝f′(x)，所以导函数是周期函数，又因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，两边求导，得f′(－x)(－x)′＝－f′(－x)＝－f′(x)，即－f′(－x)＝－f′(x)，所以f′(－x)＝f′(x)，所以导函数是偶函数.

学生用书第16页

考点一 函数奇偶性的判断及应用

【例1】 (1)判断下列函数的奇偶性： 1－x

①f(x)＝x2－1＋1－x2；②f(x)＝ln.

1＋x

1

(2)已知函数f(x)＝ln(1＋9x2－3x)＋1，则f(lg 2)＋f(lg )＝( )．

2A．－1 B．0 C．1 D．2

2

?x－1≥0，

(1)解 ①由?得x＝±1. 2

?1－x≥0

∴f(x)的定义域为{－1,1}．

又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0， 即f(x)＝±f(－x)．

∴f(x)既是奇函数又是偶函数． ②由

1－x1－x

＞0，得－1＜x＜1，即f(x)＝ln的定义域为(－1,1)， 1＋x1＋x

1＋x1－x?1－x?－1

?＝－ln＝ln?＝－f(x)，则f(x)为奇函数．

1－x1＋x?1＋x?

又f(－x)＝ln

(2)解析 设g(x)＝ln(1＋9x2－3x)， 则g(－x)＝ln(1＋9x2＋3x)＝ln－ln(1＋9x2－3x)＝－g(x)． ∴g(x)为奇函数．

?1?∴f(lg 2)＋f?lg2?＝f(lg 2)＋f(－lg 2)

??

＝g(lg 2)＋1＋g(－lg 2)＋1＝g(lg 2)－g(lg 2)＋2＝2. 答案 D

规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．

【训练1】 (1)(2014·武汉一模)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足

1

＝

1＋9x2－3x