(完整word)相似图形知识点与题型分析,推荐文档

（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。

AAE12BDC2BA4D1E1DC2ABCED2E1C（2） B（3）

（3）如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA

解：设AB=a，则BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得AE=2a，

在△EAF与△ECA中，∠AEF为公共角，且AE?EC?2，所以△EAF∽△ECA

EFAE二、证明比例式和乘积式

例5、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DF?AC=BC?FE

ADFEBK

分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行线性质进行证明：

证明：过D点作DK∥AB，交BC于K，

∵DK∥AB，∴DF：FE=BK：BE ， 又∵AD=BE， ∴DF：FE=BK：AD， 而由DK∥AB，得BK：KC=AD：DC，∴BK：BC=AD：AC ，∴BK：AD=BC：AC 因此DF：FE= BC：AC， ∴DF?AC=BC?FE

例6：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延

长线于点D。

DA1222

求证：（1）MA=MD?ME；（2）AE?ME

2C0

EBMC

ADMD证明：（1）∵∠BAC=90，M是BC的中点，∴MA=MC，∠1=∠C，

∵DM⊥BC，∴∠C=∠D=90-∠B，∴∠1=∠D，

2

∵∠2=∠2，∴△MAE∽△MDA，∴MA?ME，∴MA=MD?ME，

0

0

MDMA（2）∵△MAE∽△MDA，∴AE?ADMAMEMEMA，AEME∴AE2????2MDMAMDADMDADMA

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评注：命题1 如图，如果∠1=∠2，那么△ABD∽△ACB，AB=AD?AC。

命题2 如图，如果AB=AD?AC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。

例7：如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，

求证：AE：ED=2AF：FB。

2

2

分析：图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑

作平行线构造相似形。怎样作？观察要证明的结论，紧紧扣住结论中

“AE：ED”的特征，作DG∥BA交CF于G，得△AEF∽△DEG，则

AEAF。与结论AE2AFAF???DEDG1EDFBBF2相比较，显然问题转化为证DG?1FB

2证明：过D点作DG∥AB交FC于G，则△AEF∽△DEG，得 AE?AF （1）

DEDG∵D为BC的中点，且DG∥BF

∴G为FC的中点， ∴DG为△CBF的中位线，DG?1BF （2）

2将（2）代入（1）得：AEDE?AF2AF

?1FBBF2三、证明两角相等、两线平行和线段相等。

例8：已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，

AFDGE且EB?AF?1。 求证：∠AEF=∠FBD BABAD3C

分析：要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来

实现，本题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似（一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形。 证明：作FG⊥BD，垂足为G。设AB=AD=3k，则BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=32k

∵∠ADB=45°， ∠FGD=90°， ∴∠DFG=45°， ∴DG =FG =DF?2k

2

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∴BG=32k?2k?22k， ∴AF?FG?1

AEBG2又∠A=∠FGB=90°， ∴△AEF∽△GBF ∴∠AEF=∠FBD 例9、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线，

求证：SQ∥AB，RP∥BC

DRSPAQBC

分析：要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。要证明SQ∥AB，只需证明AR：AS=BR：DS 。

1证明：∵在△ADS和△ARB中，∠DAR=∠RAB=∠DAB，∠DCP=∠PCB=1∠ABC

22∴△ADS∽△ABR ∴ AR?BR

ASDS但△ADS≌△CBQ，∴DS=BQ，∴AR?BR，

ASBQ∴SQ∥AB，同理可证，RP∥BC

例10、已知A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点，且AB∥ED，BC∥FE，

求证：AF∥CD

ECAO

分析：要证明AF∥CD，已知条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供

利用，这就要进行正确的选择。其实要证明AF∥CD，只要证明OA?OF

OCODBFD即可，因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。 证明：∵AB∥ED，BC∥FE ∴OA?OB，OE?OF

OEODOCOB∴两式相乘可得：OA?OF

OCOD例11、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，求证：FC=FG

DCFAGBE

分析：要证明FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的

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平行线的条件，因而可用比例线段来证明。

要证明FC=FG，首先要找出与FC、FG相关的比例线段，图中与FC、FG相关的比例式较多，则应选择与FC、FG都有联系的比作为过渡，最终必须得到FC?FG（“？”代表

??相同的线段或相等的线段），便可完成。

证明：∵ FG∥AC∥BE，∴△ABE∽△AGF，则有GF?AF

BEAE而FC∥DE，∴△AED∽△AFC，则有CF?AF ， ∴GF?CF?AF

DEAEBEDEAE又∵BE=DE（正方形的边长相等） ∴DF?GF，即GF=CF。

BEBE例12、Rt△ABC锐角C的平分线交AB于E，交斜边上的高AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，求证：AE=BF

AEFB1OD23

证明：∵CO平分∠C，∠2=∠3，故Rt△CAE∽Rt△CDO， ∴AE?AC

ODCDC又OF∥BC，∴BF?AB

ODAD又∵Rt△ABD∽Rt△CAD，∴AC?AB

CDAD∴ AE?BF， ∴ AE=BF

ODOD

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