(完整word)相似图形知识点与题型分析，推荐文档

2、已知：如图5－126(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线交于O点，

过O作EF∥BC，分别交AB，DC于E，F. 112??求证：(1)OE=OF； (2)ADBCEF；

(3)若MN为梯形中位线，求证AF∥MC.

分析：

(1)利用比例证明两线段相等的方法。

111112????abc”类型： ADBCEF(2)证明时，可将其转化为“

cc??1ab①再化为，直接求出各比值，或用中间比求出各比值

再相加，证明比值的和为1；

②直接通分或移项，转化为证明四条线段成比例。

(3)可用分析法证明第(3)题，并延长两腰将梯形问题转化为三角形问题。

延长BA，CD交于S，AF∥MC

(4)用运动的观点将问题进行推广：

∴ AF∥MC成立.

若直线EF平行移动后不过点O，分别交AB、BD、AC、CD于E、O1、 O2、F，如图5－126(b)，O1F与O2F是否相等? 为什么?

3、已知：如图5－127，在ΔABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AC于E，

F为DE中点，BE交AD于N，AF交BE于M. 求证：AF⊥BE.

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分析：(1)分解基本图形探求解题思路。

(2)总结利用相似三角形的性质来证明两角相等，进一步证明两直线

位置关系（平行、垂直等）的方法，利用ΔADE∽ΔDCE ，

ADDFADDE??得到DCCF；结合中点定义得到BCCE；结合∠3=∠C；

从而得到ΔBEC∽ΔAFD，因此∠1=∠2. 进一步可得到AF⊥BE. (3)总结证明四条线段成比例的常用方法：

① 比例的定义； ② 平行线分线段成比例定理； ③ 三角形相似的预备定理； ④ 直接利用相似三角形的性质； ⑤ 利用中间比等量代换； ⑥ 利用面积关系。

4、已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．求证：BC2＝2CD·AC． 分析：欲证 BC2＝2CD·AC，只需证BC?AC．但因为结论中有“2”，无法直接找

2CDBC到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似。

由“2”所放的位置不同，证法也不同．

AED证法一（构造2CD）：如图，在AC截取DE＝DC， B∵BD⊥AC于D， ∴BD是线段CE的垂直平分线， ∴BC=BE，∴∠C=∠BEC，

又∵AB＝AC， ∴∠C=∠ABC．∴∠BEC=∠ABC． ∴ △BCE∽△ACB． ∴BC?AC， ∴BC?AC

CEBC2CDBCC

∴BC2＝2CD·AC．

EAD证法二（构造2AC）：在CA的延长线上截取AE＝AC，连结BE，B

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C

∵ AB＝AC， ∴ AB＝AC=AE． ∴∠EBC=90°， 又∵ BD⊥AC． ∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°， ∴ ∠E=∠DBC， ∴△EBC∽△BDC ∴BC?CE即BC?2AC，∴BC2＝2CD·AC． CDBCCDBCAD证法三（构造1BC）：取BC中点E，连结AE，则EC=1BC．

22又∵AB=AC， ∴AE⊥BC，∠ACE=∠C

∴∠AEC=∠BDC=90° ∴△ACE∽△BCD．

1BCCEACAC． ∴BC2＝2CD·AC． 2∴ 即??CDBCCDBCBEC

ADB证法四（构造1BC）：取BC中点E，连结DE，则CE=1BC ．

22∵BD⊥AC，∴BE=EC=EB， ∴∠EDC=∠C 又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴△ABC∽△EDC．

∴BC?AC， 即 BC?AC．∴BC2＝2CD·AC． CDECCD1BC2 说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧。在解题中方法要灵活，思路要开阔。

EC

例题精讲（二）

一、证明三角形相似

例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽ ∽ 。

A42BF3E1GCD

分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠G外,由BC∥AD

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可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。再∠1=∠3（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。

例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD 分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。

证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°

又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°

在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD

ADBC（例2图） （例3图）

例3、已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，

∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABC 分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，

有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。

证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD

∴△CBE∽△ABD ∴BC=BE即：BC=AB

ABBDBEBD△DBE和△ABC中，∠CBE=∠ABD, ∠DBC公用 ∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC

∴∠DBE=∠ABC且BC=AB ∴ △DBE∽△ABC

BEBD例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是

否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。

ADB

分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：

（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形

AEABBCBCDCEDAEFCDE

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