第八章 平面解析几何

4．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，则AB的最小值为________．

5．若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围为________．

6．已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为________．

7．设直线x－my－1＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则实数m的值是________．

8．若a，b，c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，则圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为________．

9．过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．

12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)，且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.

(1)求k的取值范围；

(2)是否存在常数k，使得向量OA＋OB与PQ共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

第五节

椭__圆

9

[知识能否忆起]

1．椭圆的定义

平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的焦距．

2．椭圆的标准方程及其几何性质 条件 2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0 图形 标准方程 范围 对称性 顶点 焦点 焦距 离心率 通径 [小题能否全取]

x2y2

1．(教材习题改编)设P是椭圆＋＝1的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则PF1＋

49PF2等于________．

解析：依定义知PF1＋PF2＝2a＝6. 答案：6

x2y2

2．(教材习题改编)方程＋＝1表示椭圆，则m的范围是________．

5－mm＋35－m＞0，??

解析：由方程表示椭圆知?m＋3＞0，

??5－m≠m＋3，

x2y2＋＝1(a＞b＞0) a2b2|x|≤a；|y|≤b 曲线关于x轴、y轴、原点对称 y2x2＋＝1(a＞b＞0) a2b2|x|≤b；|y|≤a 曲线关于x轴、y轴、原点对称 长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0，±b) 长轴顶点(0，±a) 短轴顶点(±b,0) (±c,0) F1F2＝2c(c2＝a2－b2) ce＝∈(0,1)，其中c＝a2－b2 a2b2过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为 a(0，±c)

10

解得－3＜m＜5且m≠1. 答案：(－3,1)∪(1,5)

x2y24

3．(2012·淮南五校联考)椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为________．

94＋k5解析：若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝5－k， 5－k4c419

由＝，即＝，得k＝－； a53525若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝k－5， k－54c4

由＝，即＝，解得k＝21. a54＋k519

答案：－或21

25

1

4．(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8，

2则该椭圆的方程是________．

解析：∵2c＝8，∴c＝4， c41

∴e＝＝＝，故a＝8.

aa2

y2x2

又∵b＝a－c＝48，∴椭圆的方程为＋＝1.

6448

2

2

2

y2x2

答案：＋＝1

6448

5．已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且满足PF1＝2PF2，∠PF1F2

＝30°，则椭圆的离心率为________．

解析：在三角形PF1F2中，由正弦定理得 π

sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝，

2设PF2＝1，则PF1＝2，F2F1＝3， 2c3

所以离心率e＝＝. 2a3答案：

3 3

1.椭圆的定义中应注意常数大于F1F2.因为当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和等于F1F2时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和小于F1F2时，其轨迹不存在．

2．已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论．

11

典题导入

x2y23

[例1] (2012·山东高考改编)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－

ab2y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为________．

[自主解答] ∵椭圆的离心率为a2－b2c3

∴＝＝，∴a＝2b. aa2故椭圆方程为x2＋4y2＝4b2.

∵双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，

∴渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为?∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为即a2＝4b2＝20.

x2y2

故椭圆C的方程为＋＝1.

205x2y2

[答案] ＋＝1

205

本例中条件“双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16”变为“此椭圆的长轴长等于圆x2＋y2－2x－15＝0的半径”，问题不变．

解：∵x2＋y2－2x－15＝0，

∴(x－1)2＋y2＝16，∴r＝4，即2a＝4，a＝2. c3

又＝，∴c＝3， a2

x22

∴b＝1，故椭圆方程为＋y＝1.

4

由题悟法

1．解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题．

12

椭圆的定义及标准方程 3， 2

2525?

，

?5b，5b?

2525

b×b＝4，∴b2＝5，55