第八章 平面解析几何

当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点．

(2)若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行． 2．与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据) p2

(1)y1y2＝－p，x1x2＝；

4

2

2p

(2)AB＝x1＋x2＋p＝2(θ为AB的倾斜角)；

sinθp2

(3)S△AOB＝(θ为AB的倾斜角)；

2sinθ112(4)＋为定值； AFBFp

(5)以AB为直径的圆与准线相切； (6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (7)∠CFD＝90°.

以题试法

3．(2012·泉州模拟)如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点F.

1

(1)若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；

2

(2)设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点，点B是以点F

为圆心，FA为半径的圆与x轴的交点，试求AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．

解：(1)抛物线的焦点F(1,0)，

当直线l的斜率不存在时，即x＝1不符合题意．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0. 所以，

|－k|

13＝，解得k＝±. 2231＋k

3

故直线l的方程为y＝±(x－1)，即x±3y－1＝0.

3(2)直线AB与抛物线相切，证明如下： 设A(x0，y0)，则y20＝4x0.

因为BF＝AF＝x0＋1，所以B(－x0,0)． 所以直线AB的方程为：y＝2x0y整理得：x＝－x0①

y0

把方程①代入y2＝4x得：y0y2－8x0y＋4x0y0＝0，

222

Δ＝64x20－16x0y0＝64x0－64x0＝0，

y0(x＋x0)， 2x0

49

所以直线AB与抛物线相切．

[典例] (2011·大纲全国卷改编)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝________. [解析] 法一：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．

2

??y＝4x

由题意得点F(1,0)，由?消去y得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4.因此可令

??y＝2x－4

点A(1，－2)，B(4,4)，F(1,0)，

∴AB＝35，FA＝2，FB＝5.

4

∴在△FAB中，由余弦定理知，cos∠AFB＝－.

5法二：由法一知A(1，－2)，B(4,4)，F(1,0)， ∴FA＝(0，－2)，FB＝(3,4)，

∵∠AFB可以看作向量FA、FB的夹角．

FA·FB4

∴cos∠AFB＝＝－. 5|FA||FA|

4

[答案] － 5

[题后悟道] 等价转化思想在抛物线中应用广泛．除遇到焦点到抛物线上的点之间的距离问题使用定义转化外，有时线段的长度、角度等问题也可转化为相应向量的模与夹角去处理，如典例法二将∠AFB转化为向量FA，FB夹角计算时较法一利用余弦定理简单，注意体会运用．

针对训练

(2012·重庆一诊)已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________．

解析：由抛物线的定义知，点P到点Q和点P到抛物线焦点的距离之和等于点P到点Q和点P到抛物线准线的距离之和，因为距离之和为最小，所以从点Q向抛物线的准线引1

，－1?. 垂线，与抛物线的交点P即为所求，故点P坐标为??4?

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