第八章向量代数及空间解析几何教学案(同济大学版高数)

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1．定义：平行于定直线并沿曲线定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面。

定曲线C：准线

动直线L：母线

2．特征：x，y，z三个变量中若缺其中之一（例如y）则表示母线平行于y轴的柱面。 3：几个常用的柱面：

b) 圆柱面：x2?y2?R2（母线平行于z轴） c) 抛物柱面：y2?2x（母线平行于z轴） 四、二次曲面 1、定义：

三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面 2、截痕法

用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。 3、几种特殊的二次曲面 1． 椭球面

方程为

x2y2z2???1 a2b2c2

使用截痕法，先求出它与三个坐标面的交线：

222?2??x?y?1?x2?z2?1 ?2，?，2c?ab?ay?0??z?02?2y??2?z2?1，这些交线都是椭圆。再看?bc???x?0这曲面与平行于坐标面的平面的交线：椭球面与平面z?z1的交线为椭圆

?x2y2?2?1??a22b，同理与平面x?x1和y?y1的交线也是椭圆。?2(c?z12)(c2?z12)（|z1|?c）2c?c??z?z1椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化。可知其形状如右上图所示。抛物面

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例：椭圆抛物面方程为

x2y2??z 2p2q（p与q同号）

其形状如右图所示。

旋转抛物面方程为

x2y2??z 2p2p （p >0）

双曲抛物面（鞍形曲面）方程为

x2y2???z （p与q同号） 2p2q当p >0， q >0时，其形状如图所示。 2．双曲面

单叶双曲面方程为

x2y2z2?2?2?1 2abc双叶双曲面方程为

x2y2z2?2?2??1 2abc各种图形注意规律特点，可以写出其它的方程表达式。

小结：曲面方程的概念，旋转曲面的概念及求法，柱面的概念(母线、准线)。 作业：

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第六节 空间曲线及其方程

教学目的：介绍空间曲线的各种表示形式。第五、六节是为重积分、曲面积分

作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。 教学重点：1.空间曲线的一般表示形式 2.空间曲线在坐标面上的投影 教学难点：空间曲线在坐标面上的投影 教学内容：

一、空间曲线的一般方程

空间曲线可以看作两个曲面的交线，故可以将两个曲面联立方程组形式来表示曲线。

?F(x,y,z)?0 ??G(x,y,z)?0特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程。

二、空间曲线的参数方程

将曲线C上的动点的坐标表示为参数t的函数：

?x?x(t)??y?y(t) ?z?z(t)?当给定t?t1时，就得到曲线上的一个点(x1,y1,z1)，随着参数的变化可得到曲线上的全部点。

三、空间曲线在坐标面上的投影

设空间曲线C的一般方程为

（3）

?F(x,y,z)?0 ??G(x,y,z)?0消去其中一个变量（例如z）得到方程

H(x,y)?0

（4）

曲线的所有点都在方程（4）所表示的曲面（柱面）上。

此柱面（垂直于xoy平面）称为投影柱面，投影柱面与xoy平面的交线叫做空间曲线C在xoy面上的投影曲线，简称投影，用方程表示为

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?H(x,y)?0 ??z?0同理可以求出空间曲线C在其它坐标面上的投影曲线。

在重积分和曲面积分中，还需要确定立体或曲面在坐标面上的投影，这时要利用投影

柱面和投影曲线。

例1：设一个立体由上半球面z?求它在xoy面上的投影。 解：半球面与锥面交线为

22??z?4?x?yC:?

22??z?3(x?y)4?x2?y2和锥面z?3(x2?y2)所围成，见右图，

消去z并将等式两边平方整理得投影曲线为：

?x2?y2?1 ?z?0?即xoy平面上的以原点为圆心、1为半径的圆。立体在xoy平面上的投影为圆所围成的部分：

x2?y2?1

小结：1.空间曲线的一般方程、参数方程：

?F(x,y,z)?0 ??G(x,y,z)?0

?x?x(t)??y?y(t) ?z?z(t)??R(y,z)?0 ?x?0?作业：

2.空间曲线在坐标面上的投影

?H(x,y)?0 ?z?0??T(x,z)?0 ?y?0?山水是一部书，枝枝叶叶的文字间，声声鸟鸣是抑扬顿挫的标点，在茂密纵深间，一条曲径，是整部书最芬芳的禅意。春风翻一页，桃花面，杏花眼，柳腰春细；夏阳读一页，蔷花满架，木槿锦绣、合欢幽香、蜀葵闲澹，一派峥嵘；秋风传一页，海棠妆欢，野菊淡姿，高远深邃；冬雪润一页，水仙临水一舞，腊梅素心磬口，向爱唱晚。

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