泰勒公式及其在解题中的应用毕业论文

东华理工大学毕业设计（论文） 绪论

1. 绪 论

1.1 综述

十七世纪中叶，随着近代微积分的蓬勃发展，极限作为数学中的一个概念也就被明确地提了出来。但是最初提出的极限概念是含糊不清的，相关的许多理论常常难以自圆其说，甚至自相矛盾。极限理论的确立使得数学中出现了暂时混乱的局面，直到十九世纪才有了改善，首次给出极限严格定义的是捷克斯洛伐克的数学家贝尔纳·波尔查诺，但对他来说有点遗憾的是，他的数学著作多半没有受到他同时代的人的重视，他的许多成果等到后来才被人们重新发现，但是此时功劳已经被别人抢占。1820年，法国著名数学家柯西深度研究了极限定义，并创造性地用极限理论把微积分学中的定理加以严格的全面的证明。但柯西的极限定义中应用了描述性的语言“无限的趋近” “随意小”这些词汇，使得计算不够精确。在这一点上后来德国数学家魏尔斯特拉斯先生给出了精确的“???”方法，并且获得了圆满的解决。至此，极限概念和极限理论才被完全地确定了下来。

由于近代微积分的蓬勃发展以及函数的极限的重要地位，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯等人作出了具有代表性的工作，于是泰勒公式应运而生了。泰勒公式的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算方面有着得天独厚的优势，利用它可以将复杂问题简单化，可以将非线性问题化为线性问题，并且能满足相当高的精确度要求，泰勒公式在微积分的各个领域都有着重要的应用。泰勒公式是18世纪英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数从而得到了泰勒公式。对于一般函数

f(x)，设它在点x0存在直到n阶的导数，由这些导数构成一个n次多项式

11Tn(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?f''(x0)(x?x0)2???f(n)(x0)(x?x0)n

2!n!称为函数f(x)在点x0处的泰勒多项式，若函数f(x)在点x0上存在直至n阶的导数，则有

f(x)?Tn(x)??((x?x0)n)

即

f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?11f''(x0)(x?x0)2???f(n)(x0)(x?x0)n??((x?x0)n)2!n!

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称为f(x)在点x0处泰勒公式。

众所周知， 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断级数和广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。

1.2 泰勒公式的研究背景

在数学史上，泰勒公式起源于牛顿插值的有限差分法。1715年泰勒出版的《增量法及其逆》一书中载有现在微积分教程中以他名字命名的一元函数的幂级数展开公式，当时是他通过对格雷戈里—牛顿插值公式求极限而得到的。但是他的成果被同时代的很多人所忽视，直到1755年，欧拉把泰勒级数应用于他的“微分学”时才认识到其价值，后来拉格朗日用带余项的级数作为其函数理论的基础，从而进一步确认了泰勒级数的重要地位，泰勒也以函数的泰勒展开而闻名于后世。

泰勒公式在数值微积分中起着非常重要的作用，泰勒公式“化繁为简”的功能在数学研究方面也发挥了很大的作用。关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如证明不等式、求极限、判断函数凹凸性和敛散性、判别函数的极值、判断函数凹凸性及拐点、求渐近线、界的估和近似值的计算等等。

虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但同样也还有很多方面学者很少提及，因此在泰勒公式及其在解题中的应用方面我们有研究的必要，并且有着相当大的空间。

1.3 泰勒公式的研究意义

泰勒公式是一元微积分的一个基本理论，不仅在理论上占有重要地位，同时在近似计算、极限计算、函数性质的研究等方面也有重要应用，并且也是研究分析数学的不可或缺的工具。

由于很多函数都能用泰勒公式来表示，并且研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题又要借助于泰勒公式。因此泰勒公式在数学实际应用中也是一种非常重要的应用工具，我们必须掌握它，以便更好更方便的研究一些复杂的函数、解决更多实际的数学问题。

1.4 泰勒公式的研究目的

探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识

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应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性。

1.5 本论文所作的工作

由于泰勒公式在数学领域里的重要性，本论文将简单介绍泰勒公式及其各类型余项的泰勒公式展开式，简单讨论带有佩亚诺余项和带有拉格朗日余项的泰勒公式及其一些基本的在解题中应用的实际方法，同时也讨论了一种新的证明泰勒公式的方法，并将其作了进一步的推广。

1.6 本论文的基本思路与采用的方法

将带有佩亚诺型余项和带有拉格朗日余项的泰勒公式应用到求极限、行列式、函数极值、近似值等实际的数学问题中去，通过分析比较得出最简捷的解题方法。

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2. 泰勒公式

2.1 泰勒公式的建立

在研究函数的局部性态及对其进行计算时，往往由于函数的表达式比较复杂，给研究和计算带来了很大的困难，于是就提出一种想法：能否用一个计算简便而又能高度逼近的函数来代替原来复杂的的函数呢？而在所有的函数中最简单、最好算的莫过于多项式函数。因此为了更好更方便的研究一些复杂的函数自然而然地就会考虑到在局部范围内能否用多项式函数来逼近所研究的函数。如果能，那么这个多项式要如何给出呢？

在学习导数和微分概念时，若函数f(x)在x0处可导，则有

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x?x0)+?(x?x0)

即在点x0附近，用一次多项式f(x0)+f'(x0)(x?x0)逼近函数f(x)，但是在很多场合用一次多项式逼近函数是不够的，往往需要用二次或二次以上的多项式去逼近函数并要求误差为?((x?x0)n)。

因此现在需要解决的问题是：①如何提高精度？②如何估计误差？

'令P1(x0)?f(x0)+f(x0)(x?x0)为x的一次多项式，其特点是：

p1(x0)?f(x0)

p1'(x0)?f'(x0)

为此我们考察任意n次多项式pn(x)，要求:

'(n)pn(x0)?f(x0),pn(x0)?f'(x0), ?,pn(x0)?fn(x0)

令

pn(x)?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2???an(x?x0)n

逐次求它在点x0处的各阶导数，得到

' pn(x)? a1?2a2(x?x0)???nan(x?x0)n?1

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