北京市昌平区高三数学上学期期末试卷 理(含解析)

北京市昌平区2015届高三 上学期期末数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1．（5分）已知集合A={x|（x﹣4）（x+2）=0}，B={x|x≥3}，则A∩B等于（） A． {﹣2} B． {3} C． {4} D． {﹣2，4} 2．（5分）已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是（） A． a＜b

2

2

B． ＞ C． |a|＜|b| D． 2＞2

ab

3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出a的值是（）

A． 4 C． 16 D． 32 4．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积是（）

B． 8

1

A． 8 B． C． 4 D．

5．（5分）已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（） A． 若α⊥β，m?β，则m⊥α B． 若α∥β，m∥α，则m∥β C． 若α∥β，m⊥α，则m⊥β D． 若m∥α，m∥β，则α∥β 6．（5分）在2014年APEC会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是（） A． 32人 B． 35人 C． 40人 D． 45 人 7．（5分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c．若a=1，A=30°，则“B=60°”是“b=”的（） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 8．（5分）某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（） A． 甲 B． 乙 C． 丙 D． 丁

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 9．（5分）设复数z=1﹣2i，则|z|=．

52

10．（5分）（1+2x）的展开式中含x项的系数是．（用数字作答）

11．（5分）设x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为．

12．（5分）平面向量与的夹角为60°，=（1，0），||=2，则|2﹣|=．

13．（5分）已知双曲线x﹣

2

=1（m＞0）的离心率是2，则m=，以该双曲线的右焦点为圆

心且与其渐近线相切的圆的方程是． 14．（5分）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），有如下结论：

2

①?x∈（﹣1，1），有f（﹣x）=f（x）； ②?x∈（﹣1，1），有f（﹣x）=﹣f（x）； ③?x1，x2∈（﹣1，1），有

＞0；

④?x1，x2∈（0，1），有f（）≤．

其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（13分）已知函数

（Ⅰ） 求函数f（x）的最小正周期； （Ⅱ）当

时，求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x值．

．

16．（13分）从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如下茎叶图．已知甲班样本成绩的中位数为13，乙班样本成绩的平均数为16． （Ⅰ） 求x，y的值；

（Ⅲ） 试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低（只需写出结论）； （Ⅲ） 从两组样本成绩中分别去掉一个最低分和一个最高分，再从两组

剩余成绩中分别随机选取一个成绩，求这两个成绩的和ξ的分布列及数学期望． （注：方差s=，其中为x1，x2，…，xn的平均数．）

2

17．（14分）如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BAD=90°．F为PA中点，PD=AB=AD=CD=1．四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N． （Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；

（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣P的大小；

（Ⅲ）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为出FQ的长；若不存在，请说明理由．

？若存在，请求

，

3

22

18．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+ax（a∈R）． （1）当a=1时，求函数f（x）最大值；

（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

19．（14分）已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0），经过点P（1，

），离心率是

．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆右顶点M，求证：直线l恒过定点．

20．（13分）已知数列{an}满足a1=，an+1=为Sn，bn=a2n，其中n∈N． （Ⅰ） 求a2+a3的值；

（Ⅱ） 证明：数列{bn}为等比数列； （Ⅲ） 是否存在n（n∈N），使得S2n+1﹣

**

，数列{an}的前n项和

=b2n？若存在，求出所有的n的值；若不存在，

请说明理由．

北京市昌平区2015届高三上学期期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1．（5分）已知集合A={x|（x﹣4）（x+2）=0}，B={x|x≥3}，则A∩B等于（） A． {﹣2} B． {3} C． {4} D． {﹣2，4}

考点： 交集及其运算． 专题： 集合．

分析： 求解一元二次方程化简集合A，然后直接利用交集运算得答案． 解答： 解：∵A={x|（x﹣4）（x+2）=0}={﹣2，4}， B={x|x≥3}，

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