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课时跟踪检测（三） 几个常用函数的导数、基本初
等函数的导数公式及导数的运算法则
一、题组对点训练
对点练一 利用导数公式求函数的导数 1．给出下列结论：
π?π11?－1??①(cos x)′＝sin x；②?sin?′＝cos ；③若y＝2，则y′＝－；④??′3?3xx?x??1
＝ . 2xx其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选B 因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误．sin
π3?3?
＝，而??′＝0，32?2?
1
0－?x?′
2
11x－22
2
1?0－?x?′－2x－2?－1??所以②错误.?2?′＝＝4＝3，所以③错误.??′＝－
x4xx?x?x??
x＝
x131
＝x－＝，所以④正确． 222xx1α*
2．已知f(x)＝x(α∈Q)，若f′(1)＝，则α等于( )
41111A． B． C． D． 3284解析：选D ∵f(x)＝x，∴f′(x)＝αx1∴f′(1)＝α＝.
4
对点练二 利用导数的运算法则求导数 3．函数y＝sin x·cos x的导数是( ) A．y′＝cosx＋sinx C．y′＝2cos x·sin x
2
2
αα－1
.
B．y′＝cosx－sinx D．y′＝cos x·sin x
2
2
22
解析：选B y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cosx－sinx. 4．函数y＝
x2
x＋3
的导数为________．
2
2
2
2
?x?′＝?x?′?x＋3?－x?x＋3?′＝2x?x＋3?－x＝x＋6x. 解析：y′＝??222?x＋3??x＋3??x＋3??x＋3?
2
金戈铁骑
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x2＋6x答案：2
?x＋3?
5．已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若
f′(1)＝3，则a的值为________．
1??解析：f′(x)＝a?ln x＋x·?＝a(1＋ln x)．由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′
?x?
(1)＝3， 所以a＝3.
答案：3
6．求下列函数的导数．
e(1)y＝sin x－2x；(2)y＝cos x·ln x；(3)y＝. sin x2
x解：(1)y′＝(sin x－2x)′＝(sin x)′－(2x)′＝cos x－4x.
(2)y′＝(cos x·ln x)′＝(cos x)′·ln x＋cos x·(ln x)′＝－sin x·ln x＋
cos x22
x.
xxxxxe??e?′·sin x－e·?sin x?′e·sin x－e·cos x?(3)y′＝?＝＝?′＝22
sinxsinx?sin x?
e?sin x－cos x?
. 2
sinx对点练三 利用导数公式研究曲线的切线问题
7．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x＋x)e在点(0,0)处的切线方程为________． 解析：∵y′＝3(2x＋1)e＋3(x＋x)e＝e(3x＋9x＋3)， ∴切线斜率k＝e×3＝3，∴切线方程为y＝3x. 答案：y＝3x
π
8．若曲线f(x)＝x·sin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实
2数a＝________.
πππ?π?解析：因为f′(x)＝sin x＋xcos x，所以f′??＝sin ＋cos ＝1.又直线ax222?2?
0
2
xxx2xx2
??＋2y＋1＝0的斜率为－，所以根据题意得1×?－?＝－1，解得a＝2.
2?2?
答案：2
9．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．
1
解析：因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切线l的方程为yaax－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1.
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答案：1
10．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x－10x＋13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，求点P的坐标．
解：设点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝3x－10，所以3x0－10＝2，解得x0＝±2.又点P在第一象限内，所以x0＝2，又点P在曲线C上，所以y0＝2－10×2＋13＝1，所以点
3
2
2
3
P的坐标为(2,1)．
二、综合过关训练
1．f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则
f2 019(x)＝( )
A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x
解析：选D 因为f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝cos x，所以循环周期为4，因此f2 019(x)＝f3(x)＝－cos x.
1
2．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
421
A．3 B．2 C．1 D． 2
x2
x3x31
解析：选A 因为y′＝－，所以根据导数的几何意义可知，－＝，解得x＝3(x2x2x2
＝－2不合题意，舍去)．
sin x1?π?3．曲线y＝－在点M?，0?处的切线的斜率为( )
sin x＋cos x2?4?1122
A．－ B． C．－ D． 2222
cos x?sin x＋cos x?－sin x?cos x－sin x?1π解析：选B y′＝＝，把x＝2
?sin x＋cos x?1＋sin 2x41
代入得导数值为，即为所求切线的斜率．
2
4．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax＋3相切，则a的值为( ) A．1 C．－1
B．±1 D．－2
3
3
3
解析：选A 设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax0＋3，所以3x0＋1＝ax0＋3…①.对y＝ax＋3求导得y′＝3ax，则3ax0＝3，ax0＝1…②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.
5．设a为实数，函数f(x)＝x＋ax＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为____________．
金戈铁骑
3222
32
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解析：f′(x)＝3x＋2ax＋a－3， ∵f′(x)是偶函数，∴a＝0， ∴f(x)＝x－3x，f′(x)＝3x－3， ∴f(2)＝8－6＝2，f′(2)＝9，
∴曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－2＝9(x－2)， 即9x－y－16＝0. 答案：9x－y－16＝0
6．设f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f′(0)＝________. 解析：令g(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f(x)＝xg(x)， 求导得f′(x)＝x′g(x)＋xg′(x)＝g(x)＋xg′(x)， 所以f′(0)＝g(0)＋0×g′(0)＝g(0)＝1×2×3×…×n. 答案：1×2×3×…×n
7．已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
解析：法一：∵y＝x＋ln x， 1
∴y′＝1＋，y′|x＝1＝2.
2
3
2
2
x∴曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. ∵y＝2x－1与曲线y＝ax＋(a＋2)x＋1相切，
∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．
??y＝2x－1，由?2
?y＝ax＋?a＋2?x＋1，?
2
2
2
消去y，得ax＋ax＋2＝0.
2
由Δ＝a－8a＝0，解得a＝8. 法二：同法一得切线方程为y＝2x－1.
设y＝2x－1与曲线y＝ax＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax0＋(a＋2)x0＋1)． ∵y′＝2ax＋(a＋2)， ∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．
??2ax0＋?a＋2?＝2，由?2
?ax0＋?a＋2?x0＋1＝2x0－1，?
2
1??x0＝－，
2解得???a＝8.
答案：8
8．设f(x)＝x＋ax＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数
3
2
a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
解：因为f(x)＝x＋ax＋bx＋1，
3
2
金戈铁骑
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所以f′(x)＝3x＋2ax＋b. 令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b， 又f′(1)＝2a,3＋2a＋b＝2a， 解得b＝－3，
令x＝2得f′(2)＝12＋4a＋b， 又f′(2)＝－b， 所以12＋4a＋b＝－b， 3
解得a＝－. 2
3253
则f(x)＝x－x－3x＋1，从而f(1)＝－.
22
2
?3?又f′(1)＝2×?－?＝－3， ?2?
?5?所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－?－?＝－3(x－1)， ?2?
即6x＋2y－1＝0.
9．已知两条直线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
解：不存在．由于y＝sin x，y＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)， 所以两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝y′|x＝x0＝cos x0，k2＝y′|x＝x0＝－sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须使cos x0·(－sin x0)＝－1，
即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
金戈铁骑
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