第三章 3.1.2

3.1.2 复数的几何意义

明目标、知重点

1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. 2.掌握实轴、虚轴、模等概念.

3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．

1．复数的几何意义 (1)复平面的定义

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． (2)复数与点、向量间的对应

①复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一,对应,复平面内的点Z(a，b)；

对应→

②复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一,――→平面向量OZ＝(a，b)．

2．复数的模

→→复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OZ，则OZ的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|＝a2＋b2.

[情境导学]

我们知道实数的几何意义，实数与数轴上的点一一对应，实数可用数轴上的点来表示，那么复数的几何意义是什么呢？ 探究点一 复数与复平面内的点

思考1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？

答 任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应．

小结 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 思考2 判断下列命题的真假：

①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； ②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上； ③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；

④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数； ⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．

答 根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2，因此①③是真命题；根据虚轴的定义，y轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数5i对应点(0,5)，但虚轴上的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示的是实数，故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，所以②是真命题，④是假命题；对于非纯虚数z＝a＋bi，由于a≠0，所以它对应的点Z(a，b)不会落在虚轴上，但当b＝0时，z所对应的点在实轴上，故⑤是假命题．

例1 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．

解 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2. (1)由题意得m2－m－2＝0. 解得m＝2或m＝－1.

2

??m－m－2<0

(2)由题意得?2，

?m－3m＋2>0?

??－1

∴?， ?m>2或m<1?

∴－1

(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2， 故m＝2.

反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．

跟踪训练1 实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i (1)对应的点在x轴上方；

(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上．

解 (1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，

所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方． (2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0， 55

得m＝1或m＝－，所以当m＝1或m＝－时，

22复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上． 探究点二 复数与向量

思考1 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？

答 当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系．

思考2 怎样定义复数z的模？它有什么意义？

→

答 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是向量OZ＝(a，b)的模，记作|z|或|a＋bi|. |z|＝|a＋bi|＝a2＋b2可以表示点Z(a，b)到原点的距离． 例2 已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围． 解 方法一 ∵z＝3＋ai(a∈R)， ∴|z|＝32＋a2，

由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－7，7)．

方法二 利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，

由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上， 所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合． 由图可知：－7

反思与感悟 利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，可利用平面几何知识解答本题．

1

跟踪训练2 求复数z1＝3＋4i，z2＝－－2i的模，并比较它们的大小．

2解 |z1|＝32＋42＝5，|z2|＝3

∵5>，∴|z1|>|z2|.

2

跟踪训练3 设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ (1)|z|＝2；(2)|z|≤3.

→

解 方法一 (1)复数z的模等于2，这表明向量OZ的长度等于2，即点Z到原点的距离等于2，因此满足条件|z|＝2的点Z的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆． (2)满足条件|z|≤3的点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的圆及其内部． 方法二 设z＝x＋yi(x，y∈R)． (1)|z|＝2，∴x2＋y2＝4，

∴点Z的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆． (2)|z|≤3，∴x2＋y2≤9.

∴点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．

13?－?2＋?－2?2＝. 22

1．在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于( ) A．第一象限 C．第三象限 答案 B

解析 ∵z＝i＋2i2＝－2＋i， ∴实部小于0，虚部大于0， 故复数z对应的点位于第二象限．

2

2．当

3A．第一象限 C．第三象限 答案 D

解析 复数z在复平面内对应的点为Z(3m－2，m－1)． 2

由0，m－1<0. 3所以点Z位于第四象限．故选D.

→

3．在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称→

点为B，则向量OB对应的复数为( ) A．－2－i C．1＋2i 答案 B

→

解析 ∵A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点B(－2,1)，∴向量OB对应的复数为－2＋i. 4．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2mi的点在直线y＝x上，则实数m的值为________． 答案 9

解析 ∵z＝(m－3)＋2mi表示的点在直线y＝x上， ∴m－3＝2m， 解之得m＝9. [呈重点、现规律]

1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应；

2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形

B．－2＋i D．－1＋2i B．第二象限 D．第四象限 B．第二象限 D．第四象限