奥赛培训讲义《曲线运动 万有引力》

奥赛培训讲义《曲线运动 万有引力》

第三部分 曲线运动 万有引力

第一讲 基本知识介绍

一、曲线运动

1、概念、性质

2、参量特征

二、曲线运动的研究方法——运动的分解与合成

1、法则与对象 2、两种分解的思路

a、固定坐标分解（适用于匀变速曲线运动）

建立坐标的一般模式——沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐标；提高思想——根据解题需要建直角坐标或非直角坐标。

b、自然坐标分解（适用于变加速曲线运动）

基本常识：在考查点沿轨迹建立切向τ、法向n坐标，所有运动学矢量均沿这两个方向分解。 ??F??ma动力学方程???Fn?ma?n，其中a?改变速度的大小（速率），an改变速度的方向。且an= m

v2?，

其中ρ表示轨迹在考查点的曲率半径。定量解题一般只涉及法向动力学方程。

三、两种典型的曲线运动

1、抛体运动（类抛体运动）

关于抛体运动的分析，和新课教材“平跑运动”的分析基本相同。在坐标的选择方面，有灵活处理的余地。

2、圆周运动 匀速圆周运动的处理：运动学参量v、ω、n、a、f、T之间的关系，向心力的寻求于合成；临界问题的理解。

变速圆周运动：使用自然坐标分析法，一般只考查法向方程。 四、万有引力定律

1、定律内容

2、条件

a、基本条件

b、拓展条件：球体（密度呈球对称分布）外部空间的拓展；球体（密度呈球对称分布）内部空间的拓展——“剥皮法则”

c、不规则物体间的万有引力计算——分割与矢量叠加 五、开普勒三定律

天体运动的本来模式与近似模式的差距，近似处理的依据。 六、宇宙速度、天体运动

1、第一宇宙速度的常规求法

2、从能量角度求第二、第三宇宙速度 万有引力势能EP = －G

m1m2r

3、解天体运动的本来模式时，应了解椭圆的数学常识

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第二讲 重要模型与专题

一、小船渡河

物理情形：在宽度为d的河中，水流速度v2恒定。岸边有一艘小船，保持相对河水恒定的速率v1渡河，但船头的方向可以选择。试求小船渡河的最短时间和最小位移。

模型分析：小船渡河的实际运动（相对河岸的运动）由船相对水流速度v1和水相对河岸的速度v2合成。可以设船头与河岸上游夹角为θ（即v1的方向），速度矢量合成如图1

（学生活动）用余弦定理可求v合的大小

22v合=v1?v2?2v1v2cos?

（学生活动）用正弦定理可求v合的方向。令v合与河岸下游夹角为α，则 α= arcsin

v1sin?v?v?2v1v2cos?2122

1、求渡河的时间与最短时间

由于合运动合分运动具有等时性，故渡河时间既可以根据合运动求，也可以根据分运动去求。针对这一思想，有以下两种解法

解法一： t =

S合v合

其中v合可用正弦定理表达，故有 t =

d/sin?v1sin?sin? =

dv1sin?

解法二： t =

S1v1 =

d/sin?v1

=

dv1sin?

此外，结合静力学正交分解的思想，我们也可以建立沿河岸合垂直河岸的坐标x、y，然后先将v1分解（v2无需分解），再合成，如图2所示。而且不难看出，合运动在x、y

方向的分量vx和vy与v1在x、y方向的分量v1x、v1y以及v2具有以下关系

vy = v1y vx = v2 - v1x

由于合运动沿y方向的分量Sy ≡ d ，故有 解法三： t =

Syvy =

dv1y =

dv1sin?

t (θ)函数既已得出，我们不难得出结论

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当θ= 90°时，渡河时间的最小值 tmin =

dv1

（从“解法三”我们最容易理解t为什么与v2无关，故tmin也与v2无关。这个结论是意味深长的。） 2、求渡河的位移和最小位移

在上面的讨论中，小船的位移事实上已经得出，即 S合 =

dsin? =

dv1v合sin? =

dv1?v2?2v1v2con?v1sin?22

但S合（θ）函数比较复杂，寻求S合的极小值并非易事。因此，我们可以从其它方面作一些努力。 将S合沿x、y方向分解成Sx和Sy ，因为Sy ≡ d ，要S合极小，只要Sx极小就行了。而Sx（θ）函数可以这样求——

解法一： Sx = vxt =（v2 - v1x）

Syvy =（v2 – v1cosθ）

dv1sin?

为求极值，令cosθ= p ，则sinθ=

22222221?p222，再将上式两边平方、整理，得到

v1(Sx?d)p?2v1v2dp?dv2?Sxv1?0

这是一个关于p的一元二次方程，要p有解，须满足Δ≥0 ，即

4v1v2d≥4v1(Sx?d)(dv2?Sxv1)

2222整理得 S2≥vd(v?v) x1212242222222所以，Sxmin=

dv12v2?v1 ，代入Sx（θ）函数可知，此时cosθ=

22v1v2

最后，Smin=

Sxmin?Sy=

2v2v1d

此过程仍然比较繁复，且数学味太浓。结论得出后，我们还不难发现一个问题：当v2＜v1时，Smin＜d ，这显然与事实不符。（造成这个局面的原因是：在以上的运算过程中，方程两边的平方和开方过程中必然出现了增根或遗根的现象）所以，此法给人一种玄乎的感觉。

解法二：纯物理解——矢量三角形的动态分析

从图2可知，Sy恒定，Sx越小，必有S合矢量与下游河岸的夹角越大，亦即v合矢量与下游河岸的夹角越大（但不得大于90°）。

我们可以通过v1与v2合成v合矢量图探讨v合与下游河岸夹角的最大可能。

先进行平行四边形到三角形的变换，如图3所示。

当θ变化时，v合矢量的大小和方向随之变化，具体情况如图4所示。

从图4不难看出，只有当v合和虚线半圆周相切时，v合与v2（下游）的夹角才会最大。此时，v合⊥v1 ，v1、v2和v合构成一个直角三角形，α

max = arcsin

v1v2

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并且，此时：θ= arccos

v1v2

有了α

max的值，结合图1可以求出：S合min =

v2v1d

最后解决v2＜v1时结果不切实际的问题。从图4可以看出，当v2＜v1时，v合不可能和虚线半圆周相切（或α

max = arcsin

v1v2无解），结合实际情况，α

max取

90°

即：v2＜v1时，S

合min

= d ，此时，θ= arccos

v2v1

结论：若v1＜v2 ，θ= arccos

v1v2v2v1时，S

合min

=

v2v1d

若v2＜v1 ，θ= arccos二、滑轮小船

时，S

合min

= d

物理情形：如图5所示，岸边的汽车用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮牵引水中的小船，设小船始

终不离开水面，且绳足够长，求汽车速度v1和小船速度v2的大小关系。 模型分析：由于绳不可伸长，滑轮右边绳子缩短的速率即是汽车速度的大小v1 ，考查绳与船相连的端点运动情况，v1和v2必有一个运动的合成与分解的问题。 （学生活动）如果v1

恒定不变，v2会恒定吗？若恒定，说明理由；若变

化，定性判断变化趋势。

结合学生的想法，介绍极限外推的思想：当船离岸无穷远时，绳与水的夹角趋于零，v2→v1 。当船比较靠岸时，可作图比较船的移动距离、绳子的缩短长度，得到v2＞v1 。故“船速增大”才是正确结论。

故只能引入瞬时方位角θ，看v1和v2的瞬时关系。

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