上海市闵行区2018-2019学年高二下学期期末数学试卷 Word版含解析

又 =（）?（）=+++

=4×4cos120°+0+0+4×4=8． 故有 32cos＜

＞=8，∴cos＜

＞=，∴＜

＞=arccos，

故异面直线AB1与BC1所成的角是 arccos， 故答案为arccos．

12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是 [8，10] ． 【考点】复数的代数表示法及其几何意义．

【分析】复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，结合图形可求．

【解答】解：复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，

则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，由图象可知， 当点在E，G处最小，最小为：4+4=8， 当点在D，F处最大，最大为2

=10，

则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10]， 故答案为[8，10]

13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为 10 ．

【考点】二维形式的柯西不等式．

【分析】x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，利用柯西不等式，即可得出结论．

【解答】解：x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10． 设x﹣u=m，y﹣v=n，∴m+3n=10．

T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2， ∵（m2+n2）（1+9）≥（m+3n）2， ∴m2+n2≥10，

∴T的最小值为10． 故答案为：10．

14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为

曲线，下

列方程所表示的曲线中，是曲线的有 ①③⑤ （写出所有曲线的序号）

①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．

【考点】曲线与方程． 【分析】由

曲线的定义可知，具备

曲线的条件是对于任意的P1（x1，y1）∈T，都存在

P2（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．然后逐个验证即可得到答案． 【解答】解：对于任意P1（x1，y1）∈T，存在P2（x2，y2）∈T，使x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．

对于①2x2+y2=1，∵2x2+y2=1的图象关于原点中心对称，

∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故2x2+y2=1为

曲

线；

对于②x2﹣y2=1，当P1（x1，y1）为双曲线的顶点时，双曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故x2﹣y2=1不是

曲线；

对于③y2=2x，其图象关于y轴对称，OP1的垂线一定与抛物线相交，故y2=2x为

曲线；

对于④，当P1（x1，y1）为（1，0）时，曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故④不是

曲线；

对于⑤，由（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0可得2x﹣y+1=0或点（1，2），

∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0为

曲线．

故答案为：①③⑤．

二、选择题

15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线，最后根据“若p?q为假且q?p为真，则p是q的必要不充分条件”可得结论．

【解答】解：直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，

如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线． 故“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件． 故选：B．

16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（ ） A．关于x轴对称

B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称 C．关于y轴对称

D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称 【考点】曲线与方程．

【分析】由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，即可得出结论．

【解答】解：由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变， ∴曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称， 故选：D．

17．下列中，正确的是（ ）

A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2 B．若z∈R，则z?=|z|2不成立

C．z1、z2∈C，z1?z2=0，则z1=0或z2=0 D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0 【考点】复数的基本概念．

【分析】由已知条件利用复数的性质及运算法则直接求解．

【解答】解：在A中，若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，

则z1的实数大于z2的实部，z1与z2的虚部相等，z1与z2不能比较大小，故A错误； 在B中，若z∈R，当z=0时，z?=|z|2成立，故B错误；

在C中，z1、z2∈C，z1?z2=0，则由复数乘积的运算法则得z1=0或z2=0，故C正确； 在D中，令Z1=1，Z2=i，则Z12+Z22=0成立，而Z1=0且Z2=0不成立， ∴z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0不成立，故D错误． 故选：C．

18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个：

①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变

②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变 ③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变

④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线． 其中的真是（ ）

A．①③

B．①③④ C．①②④ D．③④

【考点】棱柱的结构特征．

【分析】①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，可得直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而△AD1C的面积不变，即可判断出结论．

②由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，可得直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，即可判断出正误．

③由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，即可判断出二面角P﹣AD1﹣C的大小是否改变．

④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，设P（x，y，0），利用|PD|=|PC1|，利用两点之间的距离公式化简即可得出．

【解答】解：①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，因此直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，点P在直线BC1上运动，又△AD1C的面积不变，因此三棱锥A﹣D1PC的体积=

不变．

②点P在直线BC1上运动，由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，因此直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，故不正确．

③点P在直线BC1上运动，由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，可得二面角P﹣AD1﹣C的大小不变， 正确；

④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，D（0，0，0），C1（0，a，a），设P（x，y，0），∵|PD|=|PC1|，则线，正确．

其中的真是①③④． 故选：B．

=

，化为y=a，因此P的轨迹是过点B的直