高中数学 人教A版选修2-2第一章 1.2.1-1.2.2(一)

§1.2 导数的计算

1．2.1 几个常用函数的导数

1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

一、基础过关

1． 下列结论中正确的个数为

( )

112

①y＝ln 2，则y′＝；②y＝2，则y′|x＝3＝－；

2x27③y＝2x，则y′＝2xln 2；④y＝log2x，则y′＝A．0 C．2

B．1 D．3

( )

1

. xln 2

1

2． 过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为

x

1?A.??2，2? 1

－，－2? C.??2?

1??1

，2或－，－2? B.??2??2?1?D.??2，－2?

3． 已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于

A．4 C．5

B．－4 D．－5

( )

4． 函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有

A．1条 C．3条

B．2条 D．不确定

( )

11

5． 若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a

22

等于

( )

A．64 C．16

B．32 D．8

6． 若y＝10x，则y′|x＝1＝________. 7． 曲线y＝

14x3

在x＝1处的切线的倾斜角的正切值为______．

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二、能力提升

8． 已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为

1A. e

1B．－

eD．e

( )

C．－e

1

9． 直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.

210．求下列函数的导数：

15(1)y＝xx；(2)y＝4；(3)y＝x3；

x(4)y＝log2x2－log2x； xx

1－2cos2?. (5)y＝－2sin ?4?2?311．求与曲线y＝x2在点P(8，4)处的切线垂直于点P的直线方程．

12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 三、探究与拓展

13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 014(x)．

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答案

1．D 2．B 3．A 4．B 5．A 6．10ln 10 37．－

48．D 9．ln 2－1

3x?′ 10．解 (1)y′＝(xx)′＝??2?

333

＝x－1＝x. 222

1?－4－4－1(2)y′＝?′＝(x)′＝－4x 4

?x?4

＝－4x－5＝－5. x

3335

x?′＝x－1 (3)y′＝(x3)′＝??5?55323

＝x－＝. 5555x2(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x， ∴y′＝(log2x)′＝

1. x·ln 2

xx

1－2cos2? (5)∵y＝－2sin?4?2?xx

2cos2－1? ＝2sin ?4?2?xx

＝2sin cos ＝sin x，

22∴y′＝(sin x)′＝cos x. 311．解 ∵y＝x2，

2213x?′＝x－， ∴y′＝(x2)′＝??3?33211

∴y′|x＝8＝×8－＝.

333

1

即在点P(8，4)处的切线的斜率为.

3∴适合题意的直线的斜率为－3.

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从而适合题意的直线方程为 y－4＝－3(x－8)， 即3x＋y－28＝0.

12．解 根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x

－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x20)，则y′|x＝x0＝2x0＝1， 11?1

所以x0＝，所以切点坐标为??2，4?， 2切点到直线x－y－2＝0的距离

d＝

?1－1－2?

?24?72

2

＝

8

，

72

所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.

813．解 f1(x)＝(sin x)′＝cos x，

f2(x)＝(cos x)′＝－sin x， f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x， f4(x)＝(－cos x)′＝sin x， f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)， f6(x)＝f2(x)，…，

fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4， ∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x.

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