《初等数论》期末模拟试题

《初等数论》模拟练习题及参考答案

1、（15分）若ax0?by0是形如ax?by（x,y是任意整数，a,b是两个不全为零的整数）的数中的最小正数，则?ax0?by0??ax?by?，其中x,y是任何整数 证明：由题意可知，a,b不全为0，

从而在整数集合S??ax?by|x,y?Z?中存在正整数， 因而有形如ax?by的最小整数ax0?by0，

?x,y?Z，由带余数除法有 ax?by?(ax0?by0)q?r,0?r?ax0?by0,

则r?(x?x0q)a?(y?y0q)b?S，

由ax0?by0是S中的最小整数知r?0，故ax0?by0|ax?by

由于x,y为任意整数，则可知ax0?by0|a,ax0?by0|b 从而有ax0?by0|(a,b).又有(a,b)|a，(a,b)|b

得证(a,b)|ax0?by0，故ax0?by0?(a,b).

2、（10分）若a?b?c(modm)，求证a?c?b(modm) 证明：由同余可加性，且a?b?c(modm)，从而得

c?b?c?(?b)?(a?b)?(?b)?a(modm)，得证.

3、（10分）求15x?25y?100的一切整数解.

解：(15,25)?5,而5100，故有解，且原方程的解与3x?5y?20的解完全相同.

现先解5x?3y?1.

5

3 1?q1 0 1 0 1 1 1 1 2 1 2?P2 3 3 2 1?r2 2?r1 1?q2 q P Q 1?Q2 因此5x?3y?1的一个解是x?(?1)2?11??1,y?(?1)22?2.

故3x?5y?1的一个解是x?2,y??1.

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故3x?5y?20的一切解可以表示成x?40?5t,y??20?3t(t??0,?1,?2,) 或

x?10?5t,y??2?3t(t?0,?1,?2,)

4、（15分）设ａ为正奇数，ｎ为正整数，试证 。 证明：设 ，

当 ,时，有 ，即原式成立。 设原式对于 成立，则有 ，其中 ，

∴ ，其中ｑ是某个整数， 这说明当 时原式成立。 由归纳法知原式对所有正整数ｎ成立。

5、（15分）设p、q是两个大于3的质数，证明： 。 证明：因为 ， ，

∴ 只需证明 ， 同时成立。

事实上，由于（p，3）=1，（q，3）=1，所以 ， ， 于是 ，由于p，q都是奇数， 所以 ， ， 于是 ，故 。

6、（15分）设 ， ，且m为奇数，证明： ， 。 证明：由m为奇数可知： ，又有 ,

于是存在整数x，y使得： ， 。 从而 ，表明（ ， 由于 ， 均为奇数，可知 ， 。

7、（15分）证明 ，其中n是任何整数.

证明：因为n(n?1)(2n?1)?n(n?1)(n?2?n?1)?n(n?1)(n?2)?(n?1)n(n?1) 又有n(n?1)(n?2)，(n?1)n(n?2)是连续的三个整数

故3|n(n?1)(n?2),3|(n?1)n(n?1)，得3|?n(n?1)(n?2)?(n?1)n(n?1)? 从而可知，3|n(n?1)(2n?1).

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8、（15分）设a,b是任意两个正整数，求证

. 证明：设m是a,b的任一公倍数.由定义可设m?aka?bkb，

令a?a1(a,b),b?b1(a,b)。由上式即得a1ka?b1kb.且又?a1,b1??1， 故b1ka.因此m?aka?ab1t?abt，其中t满足等式ka?b1t. (a,b)反过来，当t为任一整数时，

abt为a,b的一个公倍数，

(a,b)故上式可以表示a,b的一切公倍数. 令t?1，即得到最小的正数，故得证?a,b??

9、（15分）如果 ，那么 且 证明：∵ 且 ∴

由 知 或 知 ； 若 由

知 若 由

∴ 如果 那么 且

10、（10分）求6x?17y?18的解 解：∵（6，17）|18，所以有解 考虑6x-17y＝1，x＝1，y＝1

∴ x＝54，y＝18是特解，即原方程的解是x＝54-17t，y＝18-6t.

11、（10分）求不定方程25x?13y?7z?4的整数解

解：将其分为两个二元一次不定方程求解，25x+13y=t，t+7z=4 ∵ 25(-t)+13(2t)=t,32+7×(-4)=4 ∴ 上面两个方程的解分别为?ab. a,b???x??t?13k1?t?32?7k2 ??y?2t?25k1?z??4?k23

?x??32?13k1?7k2? 消去t就得到所求的解?y?64?25k1?14k2 （其中k1,k2是任意整数）

?z??4?k2?

12、（10分）设n为正整数，证明(n!?1,(n?1)!?1)?1 证明：设d?(n!?1,(n?1)!?1)，

由于(n!?1)(n?1)?[(n?1)!?1]?n，所以d|n，d|n! 又∵ d|(n!?1)，所以d|1，故d?1

13、（10分）证明当n是奇数时，有3(2n?1)

证明：∵ 2??1(mod3)，所以2?1?(?1)?1(mod3) 于是，当n是奇数时，可以令n?2k?1 从而有2?1?(?1)

14、（10分）求11的平方剩余与平方非剩余

解：∵ （11-1）/2=5，所以平方剩余与平方非剩余各有五个； 又∵ 1?1,2?4,3?9,4?5,5?3

∴ 1，3，4，5，9是素数11的5个平方剩余， 2，6，7，8，10是素数11的平方非剩余。

15、（15分）若a1,a2,22222n2k?1nn?1?0(mod)3即3(2n?1)。

,an是n(n?2)个正整数，令

[mn?1,an]?mn，则[a1,a2,,an]?mn

[a1,a2]?m2,[m2,a3]?m3,证明：由题设可知，mimi?1,i?2,3,故mn是 a1,a2,,n?1,且a1m2,aimi,i?2,3,,n,，

,an的一个公倍数.

,an的任一公倍数，则a1m,a2m，

反之，设m是a1,a2,故由a,b的所有公 倍数是[a,b]的所有倍数得，m2m.又a3m，

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