线性代数考研试题精选汇编2

线性代数考研试题精选汇编2

沈鸿、华雪姣 第一章 行列式

一、选择题：

x3p(x)?x4?x4xx0321、设（A）4

，则多项式p(x)的次数是

（B）3 （C）7 （D）10

1021x24x2、设A为n阶行列式，则|kA|= （A）

kA （B）

kA （C）

knA

（D）knA

3、设A、B均为n(n?2)阶行列式，则 （A）A?B?A?B （C）

AB?AB

（B）A?B?A?B （D）

0BA?A0B

4、在5阶行列式

D5?aij展开式中，包含a13,a25并带有负号的项是

（B）?a13a25a31a42a54 （D）?a13a25a31a44a52

（A）?a13a25a34a42a51 （C）?a13a25a32a41a54 5、设4阶行列式

D4a10?0b40a2b300b2a30b100a4

（B）a1a2a3a4?b1b2b3b4 （D）(a2a3?b2b3)(a1a4?b1b4)

则D4之值等于

（A）a1a2a3a4?b1b2b3b4 （C）(a1a2?b1b2)(a3a4?b3b4) 6、设n阶行列式

Dn11??1n11?n?10?11?20????00?00则Dn之值等于

（A）

(?1)n!

n(n?1)2n

（B）(?1)（D）(?1)n2

n!

n!

2n(n?1)（C）(?1)n!

7、设?1，?2，?3，?1，?2是4维列向量，已知4阶行列式

?1?2?3?1?m，

?1?2?2?3?n，

则4阶行列式?1?2?3??1??2??m

（C）n?m

（D）m?n

（A）m?n 8、设3阶行列式（A）

?1??2（B）?(m?n)

A??1?2?3，其中?1,?2,?3均为3维列向量，则A? （B）

?1??2?2??3?3??1?2??3?3??1

（C） （D） 9、设A为n阶矩阵，A经过若干次初等变换后，得到矩阵B （A）则必有|A|=|B| （B）则必有|A|≠|B| （C）若|A|=0，则必有|B|=0 （D）若|A|＞0，则必有|B|＞0

a1a2a3b1b2b3c1c2?mc3a1?2b1a2?2b2a3?2b3b1?2c1b2?2c2b3?2c3c1?2a1c2?2a2?c3?2a3?1?2?2?3?1??2?1?2??3?1??210、已知行列式（A）9m （B）6m 11、设4阶行列式

D4?aij，则行列式

（C）3m

（D）m

Aa，a11?a12?a13?a14?m(m?0)，ij表示元素ij的代数余

子式，则A21?A22?A23?A24? （A）m （B）0 （C）-m （D）-D4 12、n阶行列式Dn为零的充分条件是 （A）主对角线上元素全为零 （B）次对角线上元素全为零 （C）至少有一个（n-1）阶子式为零 （D）所有（n-1）阶子式均为零 13、n阶行列式Dn为零的必要条件是 （A）有一行（列）元素全为零 （B）有两行（列）元素对应成比例 （C）必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 （D）各行（列）元素之和均为零。

14、设A、B、C、D均为n阶矩阵，则下列各等式中，正确的是

（A）（C）

CAABB??AB02B?A?BA

2

（B）（D）

CAAB2Bn?(?1)AB0

2

2Bn?A?(?1)BA

15、设线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b2112222nn2?????an1x1?an2x2???annxn?bn

其系数行列式记作A，下列命题正确的是

（A）若方程组无解，则必有A?0 （C）若A?0，则方程组必无解

（B）若方程组有解，则必有A?0 （D）若A?0，则方程组必有解

16、记行列式（A）1 二、计算题：

x?2x?1x?2x?32x?22x?12x?22x?33x?33x?24x?53x?54x4x?35x?74x?3（B）2

为f(x)，则方程f(x)?0的根的个数为

（C）3 （D）4

41、试求f(x)中x的系数，已知

?x3130x32x114f(x)??1x043x2214x51?7x3?122、计算

12345?11234?1a123?Dn?1aa12???????1aaaa?

n?1nn?2n?1n?3n?2n?4n?3??a13、计算n阶行列式

011?11111?11Dn?110?11??????111?10

4、计算

5、计算

1?11x?11?1x?1?1Dn?1x?11?1x?1?11?1

a1?b2a2?b2?an?b2????a1?bna2?bn?an?bna1?b1a?b1Dn?2?an?b1

?a1b1n?1n?16、计算(n?1)阶行列式

a1nna1n?1b1a1n?1n?1b122b1nnDn?1?a2?nan?1a2b2?n?1an?1bn?1n?1b2???n?22an?1bn?1?a2a2b2b2??n?1nan?1bn?1bn?1

其中

bi?0,ai?0(i?1,2,?,n?1)

11?sin?3sin?3?sin?3sin?2?sin?3n7、计算行列式

D4?11?sin?1sin?1?sin?123211?sin?2sin?2?sin?223211?sin?3sin?4?sin?4sin?4?sin?423232sin?1?sin?1sin?2?sin?228、计算行列式

aDn?1?an

(a?1)(a?1)?a?111x2x2?n?2x2x2n2n?(a?n)n?1n?1?a11x1?(a?n)???a?n?11xnxn?n?2xnxnn2n?19、计算行列式

1x32

??x1Dn??n?2x1x1n2x3???n?2x3?x3n?

10、计算

1?a1a2?11?a2Dn???00000a3?00?00?00????1?an?1an??11?anan?1an00??xn?10?xn?1xn11、计算

a1?x1a2a3??x1x20?Dn?????000?000?an?20??xn?20

13、用加边法计算n阶行列式

1?a1a2a1?ana12

a1a22?a2?ana22????a1ana2an?2n?an14、计算行列式

123?a12?aa1?Dn?????aaa?aaa?nn?1n?2?21

15、计算行列式

1?x1y11?x1y21?x2y11?x2y2Dn???1?xny11?xny2

?1?x1yn?1?x2yn???1?xnyn三、证明题：

21、设n阶行列式Dn中等于零的元素个数比n?n多，试证Dn?0

2、设n阶行列式Dn的某一行（或列）的元素均为1，证明Dn的全部代数余子式之和

nn??Aij?Dni?1j?1

?0A?a,B?b,c???BA?0??3、设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且

C?(?1)mn，则

xijAB?(?1)mnab

其中

为

4、已知n个n位数

a1?x11x12?x1n,a2?x21x22?x2n,?,an?xn1xn2?xnn,?,n位数ai的第j位数字，(i,j?1,2,?,n)，且正整数m能整除ai(i?1,2,?,n)，试证下列行列

式能被散整除。

x11xDn?21?xn1x12x22?xn2????x1nx2n?xnn5、用数学归纳法证明

cos?1?0012cos??0001?00

00?12cos??0?0???2cos??1?cosn?n?n