必修2预科班资料

§1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象(2) 2015-2016学年高一年级 寒假预科学习资料 班级 姓名 学号 （6） 学习目标：1．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象． 2．能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式．

3．了解y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．

学习重点：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

学习难点：根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式． 【学法指导】

数学导学案 π

1．利用“五点”作图法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，要先令“ωx＋φ”这一个整体依次取0、、π、

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π、2π，再求出x的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x的值，后求“ωx2

＋φ”的值．

2．由y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定其解析式，可以根据“五点”作图法逆向思维，从图象上确定“五点”中的某些点的横坐标，建立关于参数ω、φ的方程，列方程组求出ω和φ的值. 一．知识导学 1．简谐振动

简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中， 叫做振幅，周期T＝ ，频率f＝ ， 相位是 ，初相是 .

2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质如下：

R 定义域

________ 值域

周期性 T＝__ __

φ＝_________时是奇函数；φ＝____________时是偶函数；

奇偶性 kπ当φ≠(k∈Z)时是 __ 函数 2

单调增区间可由___________ _________________得到，

单调性 单调减区间可由___________ ___________________得到

二．探究与发现

【探究点一】“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象

利用“五点法”作出函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期上的图象，要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步骤．请完成下面的填空.

有志者自有千方百计，无志者只感千难万难。

ωx＋φ x y 0 0 π 2 A π 0 3π 2 －A 2π 0 所以，描点时的五个关键点的坐标依次是__________ ______________________ 2π

若设T＝，则这五个关键点的横坐标依次为________ ________________

ω【探究点二】由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象求三角函数的解析式

(1)在由图象求解析式时，“第一个零点”的确定是关键，一般地可将所给一段图象左、右扩展找离原点最近且穿过x轴上升的即为“第一零点”(x1,0)．从左到右依次为第二、三、四、五点，分别有ωx2

π3

＋φ＝，ωx3＋φ＝π，ωx4＋φ＝π，ωx5＋φ＝2π.

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(2)由图象确定系数ω，φ通常采用两种方法：

①如果图象明确指出了周期的大小和初始值x1(第一个零点的横坐标)或第二，第三(或第四，第五)点横坐标，可以直接解出ω和φ，或由方程(组)求出．

②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合图象确定ω和φ. (3)A的求法一般由图象观察法或代入点的坐标通过解A的方程求出． π

例如，已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，

2则ω＝________，φ＝________.

【探究点三】函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)或f(x)＝Acos(ωx＋φ)的奇偶性

关于函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)或f(x)＝Acos(ωx＋φ)的奇偶性有以下结论： ①函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)是奇函数?f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于原点对称

?f(0)＝0?φ＝kπ(k∈Z)．

②函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)是偶函数?f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于y轴对称

π

?f(0)＝A或f(0)＝－A?φ＝kπ＋(k∈Z)．

2

③函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)是奇函数?f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象关于原点对称

π

?f(0)＝0?φ＝kπ＋(k∈Z)．

2

④函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)是偶函数?f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象关于y轴对称

?f(0)＝A或f(0)＝－A?φ＝kπ(k∈Z)．

例如，(1)若函数f(x)＝5sin(2x＋α)是偶函数，则α等于( )

π

A．kπ，k∈Z B．(2k＋1)π，k∈Z C．2kπ＋，k∈Z

2(2)若函数f(x)＝cos(3x＋φ)是奇函数，则φ等于 ( ) πA．－

2

π

D．kπ＋，k∈Z

2

ππ

B．kπ＋(k∈Z) C．kπ (k∈Z) D．2kπ－ (k∈Z)

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有志者自有千方百计，无志者只感千难万难。

【探究点四】函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)或f(x)＝Acos(ωx＋φ)图象的对称性

关于函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性有以下结论：

①函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(x0,0)中心对称当且仅当f(x0)＝0.

②函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝x0轴对称当且仅当f(x0)＝A或f(x0)＝－A. 上述结论若换成函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)同样成立． ③对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一． 1π?例如，函数y＝sin??2x＋6?的对称中心是__________________，

对称轴方程是___________________.

一般地，函数y＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称中心是?

kπ－φ?

?ω，0?，k∈Z，

对称轴方程是x＝_______________(结果用ω，φ表示)．

【典型例题】

xπ?

例1．利用五点法作出函数y＝3sin??2－3?在一个周期内的草图．

π

2x＋?的图象． 跟踪训练1、作出y＝2.5sin?4??

例2．如图为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段，求其解析式．

跟踪训练2、如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)在一个周期内的

图象，试写出函数的表达式．

有志者自有千方百计，无志者只感千难万难。

π?

例3．已知函数f(x)＝a2sin 2x＋(a－2)cos 2x的图象关于点??2，0?中心对称，求a的值．

小结 对于函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)而言，函数图象与x轴的交点就是图象的对称中心，注意以下充要

条件的应用：函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)关于点(x0,0)中心对称?f(x0)＝0，换为函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)结论仍成立． π

跟踪训练3、已知函数f(x)＝a2sin 2x＋(a－2)cos 2x的图象关于直线x＝－对称，求a的值．

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三．巩固训练

π

ωx＋?(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象 ( ) 1．已知函数f(x)＝sin?3??

π?π

，0对称 B．关于直线x＝对称 A．关于点??3?4π?π

，0对称 D．关于直线x＝对称 C．关于点??4?3

2．函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则 ( )

ππππππ

A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝ C．ω＝，φ＝

2436441π?3．作出y＝3sin??2x－4?一个周期上的图象．

四．小结

1．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.

2π

(2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即

ωT

相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.

2φ

－，0?(也叫初始点)作为突破口．(3)从寻找“五点法”中的第一零点?以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)?ω?为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．

2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．

π3π

例如，它在ωx＋φ＝＋2kπ (k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ (k∈Z)时取得最小值.

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π5π

D．ω＝，φ＝

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有志者自有千方百计，无志者只感千难万难。