高等数学目标练习与测试集（上）

第一章 函数与极限

一 函数（见§1.1） Ⅰ 内容要求

（ⅰ）在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）的了解。

（ⅱ）理解复合函数的概念，了解反函数的概念，了解分段函数的概念。

（ⅲ）记忆基本初等函数的图象，了解初等函数的概念，自学双曲函数及反双曲函数。 （ⅳ）学会建立简单实际问题中的函数关系式。 Ⅱ 基本题型

（ⅰ）有关确定函数定义域的题型

1．（4分）f(x)?ln(2?x)x?1的定义域为______________________

2．（4分）f(x)?x?1ln(2?x)的定义域为_______________________

3．（4分）y?arcsin(2x?3)的定义域为------------------------------------------（A (1,2) B [1,2) C (1,2] D [1,2] 4．设f(x)的定义域D = [0,1]，求下列各函数的定义域： （1）（6分）f(x2) （2）（6分）f(2x) （3）（7分）f(x?1)?f(x?133) （ⅱ）有关确定函数（反函数）表达式的题型 5．（4分）已知： f(sinx2)?1?cosx，则f(x)=___________________ ???1,x?06．（4分）设f(x)???0,x?0，则f[f(x)]?____________________

???1,x?07．求下列函数的反函数

（1）（4分）y?3x?1 （2）（4分）y?1?x1?x （3）（6分）y?1?ln(x?2)

8．（7分）已知：f(x)?x3?x,?(x)?sin2x, 求f[?(x)],?[f(x)].

1

）?1,|x|?1??9．（10分）设f(x)??0,|x|?1,???1,|x|?1?g(x)?ex，求f[g(x)]和g[f(x)]，并作出这

两个函数的图形。

（ⅲ）有关函数性质判定的题型 10．（10分）下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？

（1）y?3x2?x3 （2）y?|x|?1 （3）y?sinx?1 （4）y?ax?a?x （5）y?ax?a?x 11．（4分）设f(x)?sin(x?1),x2?1???x???，则此函数为-------------（ ）

A 有界函数 B 奇函数 C 偶函数 D 周期函数 12．（4分）y?sin(x?3)的最小正周期为_________________________ 2?cosx,???x?0??13．（4分）设f(x)??，则f(x)在定义区间为-------（ ） 0,x?0???cosx,0?x??? A 奇函数但非周期函数 B 偶函数但非周期函数 C 奇函数且为周期函数 D 偶函数且为周期函数 （ⅳ）有关复合函数分解的题型

14．（6分）将y?lntanx分解成若干个基本初等函数的形式。 15．（7分）将y?arctan32x分解成由基本初等函数复合及四则运算而成的形式。 21?xⅢ 综合应用题型 16．（8分）已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角?为已知锐角（如图所示），当过水断面ABCD的面积为定值S0时，求湿周L与水深h之间的函数关系式，并指明其定义域。

A D

h ? B C 17．（8分）一列火车在运行时，每小时的费用由两部分组成，一部分是固定费用a，另一部分是与火车的平均速度x的立方成正比，比例系数为k，常用y表示火车连续运行路

2

程S所需的总费用，试将y表示为x的函数。

18．（8分）火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50 kg时，按基本运费计算，如从上海到某地每千克收0.15元，当超过50 kg时，超重部分按每千克0.25元收费。试求上海到该地的行李费y（元）与行李质量x（kg）之间的函数关系式，并画出这函数的图形。

19．（8分）按照银行规定，某种外币一年期存款的年利率为4.2 %，半年期存款的年利率为4.0 %，每笔存款到期后，银行自动将其转存为同样期限的存款。设将总数为A单位货币的该种外币存入银行，两年后取出，问存何种期限的存款有较多的收益，多多少？

*20．（8分）森林失火了，火势正以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防队员前去，在失火后5分钟到达现场开始救火，已知每名消防队员在现场平均每

2

分钟可灭火50 m，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，另附加每次救火所损耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而每烧毁1 m2森林的损失费为60元，设消防队派了x名消防队员前去救火，从到达现场开始救火到把火完全扑灭共耗时n分钟。

（1）求出x与n的关系式；

（2）当x为何值时，才能使得总损失y最小？

二 极限

（一） 极限的定义及其性质（见§1.2, §1.3, §1.4） Ⅰ 内容要求

（ⅰ）理解数列极限、函数极限的描述性定义，自学数列极限、函数极限的精确定义，几何意义及其性质。

（ⅱ）了解无穷小与无穷大量的概念及其关系，了解无穷小量的性质。

（ⅲ）记忆基本初等函数图象的变化趋势，学会计算函数在一点处的左、右极限。 Ⅱ 基本题型

（ⅰ）涉及基本初等函数极限的题型

21．填充题（每空4分）

limn=_____________, lima=________________,

n??n??pnlimex?___________, limex?_____________, limex?___________,

x?0x???x???x?0?limlnx=___________, limln1(?x)=__________, limlnx=____________,

x?0x???limcotx=__________, limtanx=_____________, limsinx=___________,

x?0x??x??2limarcsinx=________, limarctaxn=__________,

x?0x?0x???limarctanx=_______, limarctaxn=_________, limarctanx=__________.

x???x??（ⅱ）简单函数在一点处左、右极限的题型 22．（4分）lim|x|?----------------------------------------------------------------------（ ）

x?0xA ?1 B 0 C 1 D 不存在

3

?sinx,x?0?23．（6分）设f(x)??，求limf(x).

x?0?ln(1?x),?1?x?0?（ⅲ）无穷小与无穷大量的判定题型 24．（4分）当x???时，下列函数哪个是无穷小量-----------------------------（ ） A ln112 B 1?cosx C ?x D sin xx?25．（4分）当x?0时，下列函数哪个是无穷大量------------------------------（ ） 1 A ex B e?x C ex D e?1x

（ⅳ）涉及无穷小量性质的极限题型（每空4分） 26．limsinxx??x= _____________, lx21x?im0cosx?___________________, limx??(x3?1)= ________________. 27．是非题（每题2分）

在同一自变量变化过程中：

①两个无穷小的商自然是无穷小（ ） ②无穷小的倒数一定是无穷大（ ） ③无穷小与无穷大必互为倒数（ ）

28．（6分）1nlim??(n2?2n2???n?1n2) 29．（4分）limn??(1?12?114???2n)

极限的运算（见§1.5, §1.6）

Ⅰ 内容要求

（ⅰ）掌握极限的四则运算法则和复合运算法则。 （ⅱ）了解未定式的概念，会判断

00,??,???,0??,1?未定式类型。 （ⅲ）记忆两个重要极限公式并学会利用它求极限，了解夹逼定理与单调有界定理。Ⅱ 基本题型

（ⅰ）直接运用四则求限法则及复合求限法则解决的极限题型（定式） 30．求下列极限：（每题4分） （1）limx?3x?1x2?9 （2）limx??(2?1x?1x2) （3）limarctan(x2?1) （x3x??4）limx?1(1?x)

（ⅱ）简单未定式的判断及计算题型

31．判定下列未定式的类型，并进行计算

（1）（4分）limx?3x?3x2?9 （2）（4分）limx?3x??x2?9 4

（二）