河南省焦作市2017-2018学年高二数学下学期期中试卷理及答案【精心整理】.doc

【解析】分析：（Ⅰ）利用等差数列的定义证明数列先计算出

是等差数列. （Ⅱ）

.

再利用裂项相消求出，再证明不等式：

，

可得，

，显然

，

，

详解：（Ⅰ）由于

所以两边同除以所以数列

是1为首项，2为公差的等差数列.

，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以所以所以

.

，

.

点睛：本题主要考查等差数列的证明和裂项相消求和，属于基础题. 20. 已知函数

且x=1时，y=f(x）取极值. （Ⅰ）求函数（Ⅱ）求函数（Ⅲ）若方程【答案】（1）

的解析式； 在

上的最大值和最小值；

有三个不同的实数根，求实数m的取值范围.

（2）最大值为4，最小值为-146.（3）

，若曲线

在点

处的切线斜率为1，

【解析】分析：（Ⅰ）根据已知条件得到关于a,b的方程组，再解方程得到a,b的值，即得函数

的解析式. （Ⅱ）先求出函数

在

在

上

的极值和端点函数值，再比较它们，即得函数上的最大值和

最小值. （Ⅲ）先作出函数y=f(x)的图像，再观察它和直线y=m的关系得到实数m的取值范围.

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详解：（Ⅰ）

由题意得，所以

，

解得

.

，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，x ，得

，

的值随x的变化情况如下表： -4 （-4,1） + 1 2 0 - 单调递减 0 + 单调递增 单调递增 极大值 极小值 函数值 ∵∴

-146 4 4 ，，，，

在[-4,2]上的最大值为4，最小值为-146.

的图象与直线

（Ⅲ）方程f(x)=m有三个不同的实数根，即y=m有三个交点. 由（Ⅱ）分析可得，函数

在

单调递增，在单调递

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减，在单调递增，而，，所以.

点睛：本题主要考查导数的几何意义、导数求函数的最值和导数研究函数的零点问题，属于中档题. 21. 已知抛物线

的焦点F与椭圆

的右焦点重合.

（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；

（Ⅱ）斜率为-1的直线l交抛物线C于不同两点A，B，求证：

.

【答案】（1）

（2）见解析

【解析】分析：（Ⅰ）根据已知得到p的值，即得到抛物线C的标准方程. （Ⅱ）先利用韦达定理求出证明不等式.

详解：（Ⅰ）由

∴

，即p=2.

.

.

，所以椭圆

在右焦点F(1,0)， ，再利用基本不等式

所以抛物线C的标准方程为

（Ⅱ）设直线l的方程为y=-x+b，将它代入抛物线得则

，，设

.

，

又由直线l交抛物线C于不同两点A，B， 可得而

令t=b+3，则t>2. 所以

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，所以.

，

.

当

，即

，

时，等号成立.

点睛：求变量的取值范围常用函数的方法.一般先求变量的解析式，再求函数的定义域，再求函数的取值范围. 所以本题先求利用韦达定理求出

，再求b的范围，最后利用基本

不等式证明不等式.这种方法在高中数学中常用，大家要注意理解掌握和灵活运用.

22. 某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t百万元，可增加销售额约为元.

（Ⅰ）若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此增加的收益最大？

（Ⅱ）现该公司准备共投入5百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费

百万元，可增加的销售额约为

百万

百万元，请设计一个资金分配方案，使该公司由此增加的收益最大.

（注：收益=销售额-投入，这里除了广告费和技术改造费，不考虑其他的投入）

【答案】（1）投入3百万元的广告费时，该公司由此增加的收益最大.（2）4百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此增加的收益最大

【解析】分析：（Ⅰ）先写出收益f(t)的解析式，再利用二次函数的图像和性质求最大值和此时t 的值. （Ⅱ）设由此增加的收益是g(x)百

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