点集拓扑讲义熊金城部分习题参考答案

(2) y?x,令W?于是W?P ?U

x??x???,由于y?V?G??d??x????,故y??x??d??x????x?,??,且?U?W??A??y???,而x?W,故

U??A??x???U?W??A??x???U?W?A?U?W??A??y????.

从而x?d?A?.这就证明了d?A??d?A?,故d?A?为闭集.

注: d?A?不是闭集的例子:设X??1,2,3?,P ??,X,?1?,?2,3?,A??1,2?,则

??d?A???3?不是闭集,事实上,d??2????3?也不是闭集.

对于度量空间,容易验证每个单点集?x?的导集d的导集是闭集.

事实上,设?X,??是度量空间,?x?是?X,??的单点集.对任意的y???x????,所以度量空间的每个子集

??x???,y?x,记

???????x,y??0,则B?y,????x???,即??x???是开集,从而?x?是闭集.

2??再证?X,??的每一子集的导集都是闭集.设P 上述结论知,作为拓扑空间(X, P 点集,则d??是由X的度量?诱导出来的拓扑,由

)的每一单点集都是闭集,即若?x?是(X, P

??)的独

??x????x?,又x?d??x??,所以d??x????,因此(X, P

?)中每一单点集的

导集都是闭集.

由第6题(即杨忠道定理)的结论知, (X, P

)中每一子集的导集都是闭集,所以

?X,??中的每一子集的导集都是闭集.

8. 证明度量空间的每一独立点集都是闭集,并且每一子集的导集都是闭集.

证明: 设?X,??是度量空间,?x?是?X,??的独立点集.任意的y??x?,y?x,记

?????????x,y??0,则B?y,???x??,即?x?是开集,从而?x?是闭集.

?2?下面证明?X,??的每一子集的导集都是闭集.设??是由X表及里度量?诱导出来的拓扑,由度量空间的每一独立点集都是闭集知,拓扑空间X,??的每一独立点集都是闭集,即若?x?是X,??的独立点集,则d??x????x?,又x?d??x??,所以d??x????,因此X,??中每一独立点集的导集都是闭集.

??????由本节第6题的结论知X,??的每一子集的导集都是闭集. 补充例题

1. 设X是一个拓扑空间;A?a)

???????是X中的是个子集簇,证明:

??????Ai?????A?．而当，?为有限时????Ai?????A?,举例说明当?为无限A??????A?,即使当?为有限时,这一包含关系也可能是严格的.

时上述包含关系可以是严格的．

b)

??c) 对内核，写出对应的包含关系． 证明 a) A??????A??A??????A?,此关系对一切???成立，所以

??????Ai?????A?.

现在,如果?有限,则??????,A??A??但

????A??????A?

??A?作为有限个闭集的并是闭的，故????A??????A?

从而它们应该相等．

下面我们给出?为无限时严格包含的例子．设X?R，并对

2p?N?定义

????11???Ap???,?q?N? ????pq??于是有集簇新Ap??p?N?.现在Ap?Ap?????1??,0??.而?p?N?Ap显然包含?p?N?Ap中的??p??????1???所有元，此外还包含??0,?q?N?和?0,0?. ????q?? b) ??????,A??A??????A??????A?,但????A?是闭集,因此????A??????A?.

在R中,考虑A1??0,1?,A2??1,2??A1?A2??,A1?A2??1?.

c) 对已得的结论取补集,可得

?????

A??????A?(但?为有限时成为等式).

P78 第2.5节

?2. 设X是一个拓扑空间,A,B?X,证明:

(1) A??A???A?,A0?A???A?; (2) ?A0???A?,?A????A?; (3) ??A?B????A????B?,?A?B??A0?B0;

0????(4) ??A???当且仅当A是一个既开又闭的集;

(5) ????A?????A?; (6) A?B???A?B??A?B????A????B??. 证明: (1) A???A??A?A??A???A??A?A???A??X?A?;

????A???A??A?A??A???A?A?'?A'?'?A?A?'?A?A0???A0?A0

(2) ?A0?A0??A0'??A??A'???A??A'????A?

???????????A??A???A?'??A??A'????A?.

(3)

?????A?B???A?B???A?B??A??B??A'?B'?'??A?A?B??''?????B???A?B?''?????A?????'???A'????B?B????A????B?

?A?B?0?A0,?A?B?0?B0??A?B?0?A0?B0.

(4) 若??A???,由(1)A??A???A??A,A0?A???A??A,所以A是既开又闭的集合.

反之,若A是既开又闭的集合,即A?A,A?A???A??A?A?A?A??.

?'?'?'?' (5) 因为??A??A??A'?为闭集,所以???A?????A?,故

?????A??????A??????A??????A?????A?.

?'??(6) A?B???A?B??A?B??A?B???A?B??A?B?A'?B'?'???

??A?B?A'??A?B?B'???A?B???A????A?B???B???

A?B????A????B??5. 设A是度量空间?X,??中的一个子集,证明:

(1) x?A??x,A?0; (2) x???A????x,A??0且?x,A?0.

0''????????证明: (1) x?A?A?0'?'?x?A'????x,A??0;

'??'?(2) x???A??A?A?x?A且x?A???x,A??0且?x,A'?0.

??P86 第2.6节

1. 设X是一个集合,则X的子集簇B 和E是X的同一个拓扑T的两个基的充分必要条件是B和E满足条件:

(1) 如果x?B?B ,则存在E?E,使得x?E?B; (2) 如果x?E?E, ,则存在B?B ,使得x?B?E.

证 “必要性” 设B 和E 为X的同一个拓扑T的两个基，任意x?B?B ,即B?U x，因为E 是X的拓扑T一个基，由定理2.6.2知, 存在E?E,使得x?E?B. 同理可证(2)成立.

“充分性”设B 和E 分别是X的拓扑T ，T 的基，并且满足条件(1)和(2). 设x?E?E ,由条件(2)存在Bx?B 使得x?Bx?E,而

*E??x?E?x???x?EBx?E?E??x?EBx

对任意的A?T 存在E 1?E ,使得

*A??E?!!E??E?!!示E 1),所以T

*??x?EBx??x?E,E?!!Bx?T (因在下标中无法输入E 1,故用!!表

??T ，由条件(1)类似可证T ?T *.因此T =T *.故B 和E 是X的

同一拓扑T ,的基.

22. 殴氏平面?的一个子集叫做一个开矩形,如果存在a,b,c,d??满足条件a?b和

c?d.使得D??a,b???c,d?,其中?a,b?和?c,d?都表示开区间.证明:?2中所有的开矩

形构成的集簇是?的一个基.

证 记B =

2??a,b???c,d?a,b,c,d??,a?b,c?d?,则B是?2P2的一个开集簇.

任意P?x,y???,任意的U?U ,存在??0,使B?P,???U.取

a?x?,b?x?,c?y?,d?y?

2222则?a,b???c,d??B?P,???U,且?a,b???x,d??B.由定理2.6.2知, B构成?的一

2????个基.

3. 证明实数集合R有一个拓扑以集族

??a,??a?R??????,b?b?R?

为它的一个子基,并说明这个拓扑的特点.

证明: 令L??a,??a?R????,b?b?R.因为

????