当前位置：首页 > 2020届高考数学二轮复习第二部分专题三立体几何第1讲空间几何体的三视图、表面积及体积专题强化练理
答案：23
10．(2019·惠州调研)已知一张矩形白纸ABCD，AB＝10，AD＝102，E，F分别为AD，
BC的中点，现分别将△ABE，△CDF沿BE，DF折起，使A，C重合于点P，则三棱锥PDEF的外
接球的表面积为________．
解析：三棱锥P-DEF中，PD＋PF＝CD＋CF＝DF，
2
2
2
2
2
所以∠DPF＝90°， 且DF＝10＋(52)＝150. 又∠DEF＝90°，
所以DF的中点为三棱锥P-DEF的外接球的球心，则2R＝DF，故球的表面积S＝4πR＝150π.
答案：150π
B级 能力提升
11．(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )
A．123
B．183
C．243 32
AB＝93， 4
D．543
2
2
2
2
解析：由等边△ABC的面积为93可得所以AB＝6，
所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝
3
AB＝23. 3
2
2
设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝R－r＝16－12
- 5 -
＝2.
所以三棱锥D-ABC高的最大值为2＋4＝6，
1
所以三棱锥D-ABC体积的最大值为×93×6＝183.
3故选B. 答案：B
12．我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S圆及S环两截面．可以证明S圆＝S环总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是________．
12222
解析：因为S圆＝S环总成立，则半椭球体的体积为πba－πba＝πba.
3342
所以椭球体的体积V＝πba.
3
因为椭球体半短轴长为1，半长轴长为3即b＝1，a＝3. 42
故椭球体的体积V＝πba＝4π.
3答案：4π
13．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥PABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，设该阳马的外接球半径为R，内切球半径为r，则R＝________，内切球的体积V＝________．
解析：在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且底面为矩形，将该“阳马”补成长方体，
则(2R)＝AB＋AD＋AP＝16＋16＋9＝41.
2
2
2
2
- 6 -
因此R＝
41. 2
依题意Rt△PAB≌Rt△PAD，则内切球O在侧面PAD内的正视图是△PAD的内切圆，且该内切圆与△PAB的内切圆全等．
1
故内切球的半径r＝(3＋4－5)＝1，
2443
则V＝πr＝π.
33答案：
414
π 23
14．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
解析：如图，连接OA，OB.
由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC. 由平面SCA⊥平面SCB， 平面SCA∩平面SCB＝SC， 所以OA⊥平面SCB. 设球O的半径为r，则
OA＝OB＝r，SC＝2r，
所以三棱锥S-ABC的体积 1?1r3?V＝×?SC·OB?·OA＝， 3?23?
即＝9，所以r＝3，所以S球表＝4πr＝36π. 3答案：36π
r3
2
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