江苏省南通、泰州、扬州等七市2020届高三第三次调研考试数学试题及答案 - 图文

南通市2020届高三第三次调研测参考答案

1、 {?1，2} 2、?3 3、?1 4、14 5、1 6、(?2，0)(2，??)

527、14 8、2 9、7? 10、?15 11、4 12、6 13、?1 14、26

23338

15、（1）C?π．（2）sinB?39．

32616、略

2y2x17、（1）椭圆C的方程为??1． （2）若l1的斜率为0，则PQ?46，MN?2， 所以△PQN

433?x2y2?1，??的面积为46，不合题意，所以直线l1的斜率不为0． 设直线l1的方程为y?kx?1， 由?433??y?kx?1y1?，Q?x2，y2?消y，得(3?4k)x?8kx?8?0， 设P?x1，222?4k?26?2k?1，， 则x1?23?4k222x2??4k?26?22k?1， 所以PQ?(x1?x2)2?(y1?y2)2?1?k2x1?x2?461?k?22k?1．

3?4k3?4k

2 直线l2的方程为y??1x?1，即x?ky?k?0，所以． MN?21?k2? 所以△PQN2k1?k1?k22461?k?2k?1?211?3，解得k??1，即直线l1的斜率为?1． 的面积S?PQ?MN??222223?4k1?k2218、（1）方法一：建立直角坐标系四边形ABA?F的面积为4m2．

3方法二：设?ABF??，则?ABA??2?．在直角△ABD中，tan2??AD?3， 所以2tan??3， 2AB41?tan?4??1或tan???3（舍去）解得tan．所以AF?ABtan??2． 所以△ABF的面积为

331?2?2?2m2，所以四边形ABA?F的面积为4m2．

3233y D A? A??x0，y0?， （2）方法一：建立如图所示的直角坐标系． 设AE?a，AF?b，

C 则直线EF的方程为bx?ay?ab?0，因为点A，A?关于直线EF对称，所以?y0a?，?2?x0b2a解得y0?2b2． 因为四边形AEA?F的面积为3，?a?b?bx0?ay0?ab?0，??22323a?23． 因为0?a≤2，0?b≤3，所以ab?3， 所以y0?42a?3a?33aF A E B x (a2?3)(a?3)(a?3)232339以， 令≤a≤2． 设f(a)?a?3，≤a≤2． f?(a)?1?4?433aaa． 列表如下： f?(a)?0，得a?3或a??3（舍去）

f?(a) a ?23，3? ???3?3 ?3，2?? + ? 单调递减 0 极小值 f(a) 单调递增 当a?3时，f(a)取得极小值，即最小值43， 所以y0的最大值为3，此时点A?在CD上，a?3，23b?1． 答：点A?到AB距离的最大值为3m．

2方法二：设AE?a，?AEF??，则AF?atan?．因为四边形AEA?F的面积为3，所以AE?AF?3，即a2tan??3，所以tan??3．过点A?作

a2D A?

C

?EAB的垂线A?T，垂足为T，则A?T?A?sin?2?AE?sin?2?F

2 asi?nA

T

B

E

2?3?cos??a?2tan??a?a2?23．0?AF≤3，因为0?AE≤2，所以23≤a≤2． （下?a?2sin222233?1a?3sin??cos?tan??1a4a3同方法一）

??19、（1）由(nan?1?2)an?(2an?1)an?1，得1?2?2?n，得1?n?2?1??n?1??，即bn?2bn?1

anan?1an?an?1?b 因为a1=3，所以b1?1?1=?2?0，所以n?2（n≥2），所以?bn?是以b1为首项，2为公比等比数列．

a13bn?1（2）① 设1?1??，由（1）知，bn?2bn?1， 所以bn?2bn?1?22bn?2?a1?2n?1b1，即1?n???2n?1，所

an以1???2k?1?k．因为1，1，1成等差数列，则(??2k?1?k)?(??2k?1?k?2)?2(??2k?k?1)，

ak?1akak?2ak所以??2k?1?0，所以??0，所以1?n，即an?1．

ann② 要证lnn?1an?ln(n?1)?1an?1，即证1(an?an?1)?lnn?1，即证1?1?2lnn?1．设t?n?1，则

n2nnn?1n221?1?t?1?t?1?t?1，t?1?2lnt．且t?1，从而只需证，当t?1时， 设f(x)?x?1?2lnx（x?1），

nn?1tttx则f?(x)?1?12?2?(1?1)2?0，所以f(x)在(1，??)上单调递增，所以f(x)?f(1)?0，即x?1?2lnx，

xxxx因为t?1，所以t?1?2lnt，所以，原不等式得证． t20、（1）f(x)的定义域为?0，e?1??12?2ax(1?lnx)?ax2?12ax(1?lnx)x?2 e?1，??． 由， f?(x)?2(1?lnx)(1?lnx)2?令f?(x)?0，因为a?0，得x?e， 因为e?12??． ?e，f(x)的单调增区间是e，?1??12?（2）当a?0时，f(1)?a?0?2eb?1，不合题意； 当a?0时，令f?(x)?0，得0?x?e?1或e?x?e， 所以f(x)在区间0，e?1?12??1?和?e?12?1，e?12??上单调递减． 因为1?e?1，e2，且f(x)在区间

2?1??e?12，??上单调递增，所以f(x)在x?e处取极小值2a，即最小值为2a． 若?x≥1，f(x)≥2eb?1，

ee2?则2a≥2eb?1，即a≥eb．不妨设b?0，则b≤b． 设g(b)?b（b?0），则g?(b)?1?bb．当0?b?1时，bbaeeee1?上单调递增；在?1，???上单调递减，所以g(b)≤g(1)，g?(b)?0；当b?1时，g?(b)?0，所以g(b)在?0，≤1，所以b的最大值为1． 即bbaeee （3）由（2）知，当a?0时，f(x)无极大值， 当a?0时，f(x)在0，e增；在e，??上单调递减，所以f(x)在x?e)?eF(x)?f(x)?ex，即F(xx?1?1?和?e?1，e?12?上单调递

??12??12?处取极大值， 所以f(e2)?2a??2，即a??e． 设

e2?ex，???， 当x?0，所以F(x)?0； 当x??e?1，e?1，1?lnx?0，1?lnx??

F?(x)?ex?ex(1?2lnx)(1l?n)x2， 所以F?(x)≥0，且F(x)不， 由（2）知，ex≤ex，又1?2lnx≤2(1?lnx)???上单调递增．不等式f(x)?ex?0，即为F(x)?0?F(1)，所以e?1?x?1，恒为零， 所以F(x)在?e?1， 1?． 即不等式的解集为?e?1，??10??a?2?1?c?a?2d?21A、由题意得，AA?1??，即??0b??d1??bd?01??????a?c2?1???， 所以?b?0?1???a?1，b?1，c?，2?1?2?A??，即矩阵d?0?． 设P(x，y)为曲线C上的任意一点，在矩阵A对01???x???1?2??x??x??x?2y，应的变换作用下变为点P?(x?，y?)， 则 ????，即 由已知条件可知，???y???01yy?y.???????（1）分P?(x?，y?)满足y?2x?1，整理得：2x?5y?1?0， 所以曲线C的方程为2x?5y?1?0．21B、π，B22，5π转化为直角坐标为A0，?2?， 所以直线AB的直角坐标方程为别将A4，?4?，B??2，24????3x?y?4?0．

（2）曲线C的方程为??r（r?0），其直角坐标方程为x2?y2?r2 又直线AB和曲线C有且只有一个公共点，即直线与圆相切， 所以圆心到直线AB的距离为4?210，即r的值为210．

5532?1221C、因为关于x的方程x2?4x?a?1?a?0有实根， 所以??16?4(a?1?a)≥0，即a?1?a≤4 当a≥1时，得1≤a≤2a?1≤4，

5； 当0?a?1时，1≤4，恒成立，即0?a?1； 当a≤0时，1?2a≤4，2335得?≤a≤0， 综上：所求a的取值范围为?≤a≤．

22222、（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形有：

文章 视频 3 6 4 6 5 4 5 6 因为两类学习互不影响，所以概率P?1?1?1?1?1?1?1?1?5，所以每日学习积分不低

926223229于9分的概率为5．

9（2）随机变量?的所有可能取值为0，1，2，3．由（1）每个人积分不低于9分的概率为5．

9P??=0?=49??354?64；P??=1?=C1372999????1 225?240；P??=2?=C37299????24?300；P?=3=5??99729． ???1257293所以，随机变量?的概率分布列为

? 0 2 3

P 64 729240 729300 729125 729所以E(?)?0?64?1?240?2?300?3?125?5．所以，随机变量?的数学期望为5．

3729729729729323、（1）由P2?10?11?12?13?14?5，Q2??11?22?33?44?10，所以2P2?Q2?0．

33C4C4C4C4C4C4C4C4C4（2）设T?nPn?Qn，则T?(nnC0?n1?n2?????n2n)?(?11?22?33?????22n) 2nC2nC2nC2nC2nC2nC2nC2n ?n1C0?n??n?2?n?3??????n ① 因为Ck?C2n?k1232n2n2n， 2nC2nC2nC2nC2n所以T?n1C2n?n?C2n?1?n?22n?2?n?32n?3??????n0??n0?1?n1?2?n2?3?n3?????n2n 2n2nC2nC2nC2nC2nC2nC2nC2nC2n ①+②得，2T?0，即T?nPn?Qn?0，所以nPn?Qn?0．

②