人教版七年级数学下册奥赛班辅导资料

七年级数学下册培优班讲义

第12讲与相交有关概念及平行线的判定

考点·方法·破译

1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.

2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.

3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析

【例1】如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，一共构成哪几对E A D 对顶角？一共构成哪几对邻补角？

【解法指导】

⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.

⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的

C 反向延长线. B F ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.

有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】

C E 01．如右图所示，直线AB、CD、EF相交于P、Q、R，则：

⑴∠ARC的对顶角是 .邻补角

P 是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； R Q A B

当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；

D 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. F 问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角.

【例２】如图所示，点O是直线AB上一点，OE、OF分别平分∠BOC、 ∠AOC．

⑴求∠EOF的度数；

C

F ⑵写出∠BOE的余角及补角. E 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解； A O B 【解】⑴∵OE、OF平分∠BOC、∠AOC∴∠EOC

12121212＝

12∠BOC，∠FOC＝∠AOC∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝∠BOC＋∠AOC＝??BOC??AOC?又∵∠BOC＋∠AOC＝180°∴∠EOF＝3180°＝90°⑵∠BOE的余角是：∠COF、∠AOF；∠BOE的补角是：∠AOE.

【变式题组】

01．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC＝100°，则∠BOD的度

数是（）

A．20°B． 40° C．50° D．80° E 4 1 D

12A C O A

3 2 1

（第1题图） （第2题图）

02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝.

【例３】如图，直线l1、l2相交于点O，A、B分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作

A 图：

⑴经过点A画直线l2的垂线.

⑵画出表示点B到直线l1的垂线段.

O 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. l2

B 【变式题组】

01．P为直线l外一点，A、B、C是直线l上三点，且PA＝

l1 4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离为（）

A．4cmB． 5cm C．不大于4cmD．不小于6cm

02如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N为位于公路两侧的村庄；

⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出点P、Q的位置.

⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中，在的路上距离M村越来越近..在 的路上距离村庄N越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.

【例４】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE和∠AOC的度数.

E D 【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，

也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF＝

A B 90°，OF⊥AB．

O

C F

【变式题组】

01．如图，若EO⊥AB于O，直线CD过点O，∠EOD︰∠EOB＝1︰3，求∠AOC、∠AOE的

度数. E A

C D O 02．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝3∠AOC，OC平分∠

AOD．

B ⑴求∠AOC的度数；

⑵试说明OD与AB的位置关系.

D C B O A

2

03．如图，已知AB⊥BC于B，DB⊥EB于B，并且∠CBE︰∠ABD＝1︰2，请作出∠CBE的对

顶角，并求其度数. A

B D

A

E

【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： F C ∠1和∠2：

1

4 ∠1和∠3：

2 3 6 A B 5 ∠1和∠6：

D E ∠2和∠6：

∠2和∠4： ∠3和∠5：

∠3和∠4：

【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.

【变式题组】

E Ｇ 01．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF，GH相交，图中的

同旁内角共有（）

A B A．4对B． 8对 C．12对D．16对

C D

02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角. F H

1 03．如图，按各组5

3 4 7 8 2 角的位置判断错4 6 3 2 1 6 5 3 误的是（） 2

1 4 A．∠1和

甲

乙

丙

∠2是同旁内角

B．∠3和∠4是内错角 C．∠5和∠6是同旁内角 D．∠5和∠7是同旁内角

【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由?

6 B ⑴∠CBD＝∠ADB； A D ⑵∠BCD＋∠ADC＝180°

A 1 3 5 7 C

3

2 4 O B C ⑶∠ACD＝∠【解法指导】图中

BAC

有即即有同旁内

角，有“”即有内错角.

【解法指导】⑴由∠CBD＝∠ADB，可推得AD∥BC；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD＋∠ADC＝180°，可推得AD∥BC；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD＝∠BAC可推得AB∥DC；根据内错角相等，两直线平行. 【变式题组】

A 01．如图，推理填空.

⑴∵∠A＝∠（已知）

∴AC∥ED（） F E ⑵∵∠C＝∠（已知）

∴AC∥ED（） ⑶∵∠A＝∠（已知） C B D ∴AB∥DF（）

02．如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1＝∠2，试说明DE与AB的位置关系. 解：∵AD是∠BAC的平分线（已知）

A ∴∠BAC＝2∠1（角平分线定义）

1 又∵EF平分∠DEC（已知）

E

∴（）

2 又∵∠1＝∠2（已知）

∴（）

B C ∴AB∥DE（） D F

03．如图，已知AE平分∠CAB，CE平分∠ACD．∠CAE＋

∠ACE＝90°，求证：AB∥CD．

A B

E

04．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，CD平分

C D ∠ACB，∠EBF＝∠EFB，求证：CD∥EF.

A

E D

B C F

【例ll5

6

面内有六条直线，试证：中，至少有

l4

l3 l2

l6

l5

l4 l3

l2 l1

l1

７】如图⑴，平两两不平行的在所有的交角一个角小于

4

图⑴ 图⑵