江苏省南通市通州区2016-2017学年高一(下)期末数学试卷(解析版)

∴f（α）==cos[（α+=﹣

?=cosα[cos（α+）﹣cosα]+sinαsin（α+）

）﹣α]﹣cos2α

=﹣cos2α，其中α∈（0，）；

（2）由（1）知，f（α）=﹣cos2α， α∈（0，

）时，2α∈（0，

），

cos2α∈（，1），

∴﹣cos2α∈（﹣，﹣），

∴函数f（α）的值域为（﹣，﹣）．

18．如图，海平面某区域内有A，B，C三座小岛，岛C在A的北偏东70°方向，岛C在B的北偏东40°方向，且A，B两岛间的距离为3海里． （1）求B，C两岛间的距离；

（2）经测算海平面上一轮船D位于岛C的北偏西50°方向，且与岛C相距3里，求轮船在岛A的什么位置．（注：小岛与轮船视为一点）

海

【考点】HU：解三角形的实际应用．

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【分析】（1）在△ABC中使用正弦定理得出BC；

（2）在△ABC中求出AC，再在△ACD中利用余弦定理求出AD，利用正弦定理求出∠DAC，得出结论．

【解答】解：（1）由题意可得∠ABC=105°，∠BAC=45°，AB=3， ∴∠ACB=30°，

在△ABC中，由正弦定理得即

，解得BC=3

（海里）． ，∠ACD=60°，

=3=3

，即

，

， ，

，

，

（2）由题意可知CD=3

在△ABC中，由余弦定理得AC=在△ACD中，由余弦定理AD=由正弦定理得：解得sin∠DAC=∴∠DAC=45°，

∴D船在A岛北偏东25°方向上，距离A岛3

海里处．

19．在平面直角坐标系xOy中，圆：x2+y2=4，直线l：4x+3y﹣20=0．A（，）为圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P． （1）若MN∥l． ①求直线MN的方程； ②求△PMN的面积．

（2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明．

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【考点】J9：直线与圆的位置关系．

【分析】（1）①求出直线MN的斜率k=kAB=﹣，由此能求出直线MN的方程． ②求出点O（0，0）到直线MN的距离d=1，从而MN=2

=2

，点O到

直线l的距离|OP|=4，P到MN的距离h=4﹣1=3，由此能求出△PMN的面积S△

PMN．

（2）设M（x0，y0），则直线MN的斜率k=，直线OP的斜率为﹣，

直线OP的方程为y=﹣，联立，得点P（，﹣

），求出

圆O相切．

，，推导出=0，从而PM⊥OM，进而直线PM与

【解答】解：（1）①∵圆：x2+y2=4，直线l：4x+3y﹣20=0．A（，）为圆O内一点，

弦MN过点A，MN∥l， ∴直线MN的斜率k=kAB=﹣，

∴直线MN的方程为：y﹣=﹣（x﹣）， 整理，得：4x+3y﹣5=0．

②点O（0，0）到直线MN的距离d=MN=2

=2

=2

，

=4，

=1，

点O到直线l的距离|OP|=∴P到MN的距离h=4﹣1=3， ∴△PMN的面积S△PMN=

=

=3．

（2）直线PM与圆O相切，证明如下：

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设M（x0，y0），则直线MN的斜率k==，

∵OP⊥MN，∴直线OP的斜率为﹣，

∴直线OP的方程为y=﹣，

联立，解得点P的坐标为（，﹣），

∴∵∴

=（

=（x0，y0），

=

，﹣

，

），

=﹣4

=∴

⊥

=0，

，∴PM⊥OM．

∴直线PM与圆O相切．

20．已知函数f（x）=a|x﹣b|+1，其中a，b∈R． （1）若a＜0，b=1，求函数f（x）的所有零点之和； （2）记函数g（x）=x2﹣f（x）．

①若a＜0，b=0，解不等式g（2x+1）≤g（x﹣1）；

②若b=1，g（x）在[0，2]上的最大值为0，求a的取值范围． 【考点】52：函数零点的判定定理．

【分析】（1）判断f（x）的单调性和对称轴，得出零点个数和零点之和； （2）①根据g（x）的奇偶性和单调性列出不等式得出x的范围；

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