三角函数的图像和性质(复习课教案-含解答)

三角函数的图像与性质

知识梳理： y

y y＝cosx-2 -?2 1 y＝sinx 3?2 ? -3?2 -? -1 O ? ? 2? 2x -? -?2 O ?2 ? x

y=sinx y=cosx y=tanx 定义域 R R {x|x?R,且x?k???2,k?Z} 值域 [－1，1] [－1，1] R 当x＝2k?+?当x＝2k?，k∈Z， 无 2，k∈Z y最 ymax＝1； max=1 当x=2k?+?，k∈Z， 值 当x＝2k?－?2，k∈Z， ymin＝－1 ymin＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性 T＝2? T＝2? T＝? ??[2k?，2k?+ [2k?－2，2k?+2]， k∈Z ?]， k∈Z (－?+k?，?+k?)（k∈Z） 单 增函数 减函数, 22调 增函数 性 [2k?+?2， 2k?+3?2]，k∈Z [2k?-?，2k?]，k∈Z 增函数 减函数

题组1：基础再现 1.函数y?sinx2的最小正周期为 . 2.函数y?sin(x??4)的单调增区间为 . 3.函数y?tan(2x??3)的定义域为 . 4.不求值，判断下列各式的符号：

（1）tan138?tan143 （2）tan(?134?)?tan(?175?)

题组2：三角函数的定义域与值域问题

例1求函数y=lgsinx+

cosx－12

的定义域．

解：要使函数有意义，只需

??sinx?0,?2k??x?2k???,??1，∴???cosx?2.??2k???3?x?2k??? 3.∴定义域为(2k?,2k???3]（k∈Z）

． 例2（1）求函数y＝cos2x+sinx，x∈[－??4，

4]的值域；

（2）求函数y?cosx?3cosx?3的值域；

（3）若函数f(x)=a－bcosx的最大值为52 ，最小值为－1

2

，求a， b的值．

解：（1）令sinx＝t，∵x∈[－??4，

4]，∴t∈[－222，2]． ∴y＝－t2+t+1＝－(t－

12)2+54．

∴当t＝12时，ymax＝54；当t＝－21?22时，ymin＝2．

∴所求值域为[1?252，4]．

（2）∵y?cosx?33y?3cosx?3，∴cosx?1?y．

∵|cosx|≤1，∴|3y?31?y|≤1，∴－2≤y≤－12． ∴所求值域为[－2，－12]．

题组3：三角函数的单调性与对称性问题

一般地，函数y＝Asin(?x+?)的对称中心横坐标可由?x+?＝k?解得，对称轴可由?x+?＝k?+?

2

解得；

函数y＝Acos(?x+?)的对称中心、对称轴同理可得． 例3求函数y＝sin(

?4－2x)的单调减区间.

解：∵定义域为R，又y??sin(2x??4)，

∴要求y?sin(??4?2x)的减区间即求y?sin(2x?4)的增区间． ∴2k???2?2x????3?4?2k??2 ∴k??8?x?k??8（k∈Z）．

∴ 函数的定义域为???k???8,k??3??8??（k∈Z）．

变1求函数y?log1cosx的单调减区间．

2解：∵cosx?0，∴定义域为(k???,k???44)（k∈Z）

． ∴要求y?log1cos2x的减区间即求y?cos2x在定义域内的增区间． 2∴2k???2?2x?2k?，∴函数的定义域为(k???4,k?]（k∈Z）

． 变2已知函数y?tan?x在(??2,?2)内是增函数，则?的取值范围为 ． 例4判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)?xcos(3?2?x)； （2）f(x)?lg(sinx?1?sin2x)；

（3）f(x)?1?sinx?cos2x1?sinx．

答案：（1）偶函数；（2）奇函数；（3）非奇非偶函数．

变1已知函数f(x)=sin(x+?)+3cos(x－? )为偶函数，求? 的值．

解 ∵f(x)为偶函数，∴sin(x+?)+3cos(x－? )＝sin(－x+?)+3cos(－x－? )， ∴sin(x+?)+ sin(x－?)=3[ cos(x+? )－cos(x－? )]，化简得tan? =－33，∴? =k???6（k?Z）．

题组4：综合与创新

1．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π

2”的________条

件．必要不充分

2 cos2?112．函数f(x)＝?2x－2??－x

x－1的对称中心坐标为________．(1，－1)

3.已知函数f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1，x?R． （1）求函数f(x)的最小正周期；

（2）求函数f(x)在区间??π?8，3π?4??上的最小值和最大值．

解：（1）f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1?sin2x?cos2x?2sin??π??2x?4??．

因此，函数f(x)的最小正周期为π． （2）∵

?8≤x≤

3?4，∴0≤2x－?4≤5?2?4，∴－2≤sin(2x－4)≤1，

∴函数f(x)在区间??π?8，3π?4??上的最大值为2，最小值为f??3π??4????1．

3.设函数f(x)??cos2x?4tsinxcosx22?4t3?t2?3t?4，x?R，其中t≤1，将f(x)的最小值记

为g(t)．

（1）求g(t)的表达式；

（2）讨论g(t)在区间(－1，1)内的单调性并求极值．

解：（1）f(x)?sin2x?1?2tsinx?4t3?t2?3t?4 ?sin2x?2tsixn?2t?3t4?t3?

3

?(sinx?t)2?4t3?3t?3．

由于(sinx?t)2≥0，t≤1，故当sinx?t时，f(x)达到其最小值g(t)，即g(t)?4t3?3t?3． （2）g?(t)?12t2?3?3(2t?1)(2t?1)，???t?1．列表如下：

t (?1，??12) ?12 (?12，?2) (122，1) g?(t) ? 0 ? 0 ? g(t) 极大值g(?12) 极小值g(12) 由此可见， g(t)在区间(?1，??)和(1，1)1?22上单调递增，在区间(?2，2)上单调递减，极小值为

g(112)=2，极大值为g(?2)=4． 2．已知a>0，函数f(x)＝－2asin??2x＋π6??＋2a＋b，当x∈??0，π

2??时，－5≤f(x)≤1. (1)求常数a，b的值；

(2)设g(x)＝f??x＋π

2??且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间． 2．解：(1)∵x∈??0，π2??， ∴2x＋ππ6∈??6，7π6??. ∴sin??2x＋π6??∈??－1

2，1??， ∴－2asin??

2x＋π

6??∈[－2a，a]．

∴f(x)∈[b,3a＋b]， 又∵－5≤f(x)≤1，

∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5. (2)由(1)得，

f(x)＝－4sin??2x＋π

6??－1， g(x)＝f??x＋π2?? ＝－4sin??2x＋7π

6??－1 ＝4sin??2x＋π

6??－1， 又由lg g(x)>0，得g(x)>1， ∴4sin??2x＋π

6??－1>1， ∴sin?π?

2x＋6??>12， ∴2kπ＋ππ5ππππ

6<2x＋6<2kπ＋6，k∈Z，其中当2kπ＋6<2x＋6≤2kπ＋2，k∈Z时，g(x)单调递增，即

kπ

6

，

k∈Z，

∴g(x)的单调增区间为

??

kπ，kπ＋π6??，k∈Z.

又∵当2kπ＋π2<2x＋π6<2kπ＋5π6，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋π6

3，k∈Z.

∴g(x)的单调减区间为

??

kπ＋π6，kπ＋π3??，k∈Z.

第26课时 知识梳理：

三角函数的图像与性质 y -? -?2 O ?2 ? x

y y＝cosx-2 -?2 1 y＝sinx 3? 2 ? -3??2 -? -1 O ? 2? 2 x y=sinx y=cosx y=tanx 定义域 R R {x|x?R,且x?k???2,k?Z} 值域 [－1，1] [－1，1] R 当x＝2k?+?当x＝2k?，k∈Z， 无 2，k∈Z ymax＝1； 最 ymax=1 当x=2k?+?，k∈Z， 值 当x＝2k?－?2，k∈Z， ymin＝－1 ymin＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性 T＝2? T＝2? T＝? ?? [2k?－2，2k?+2]， k∈Z [2k?，2k?+?]， ??k∈Z (－+k?，+k?)（k∈Z） 单 增函数 减函数, 22调 增函数 [2k?+?， 2k?+3?]，k∈Z [2k?-?2k?]，k∈Z 性22，增函数 减函数 题组1：基础再现 1.函数y?sinx2的最小正周期为 . 2.函数y?sin(x??4)的单调增区间为 . 3.函数y?tan(2x??3)的定义域为 .

4.不求值，判断下列各式的符号：

（1）tan138?tan143 （2）tan(?13174?)?tan(?5?)

题组2：三角函数的定义域与值域问题 例1求函数y=lgsinx+

cosx－12

的定义域．

例2（1）求函数y＝cos2x+sinx，x∈[－??4，

4]的值域；

（2）求函数y?cosx?3cosx?3的值域；

（3）若函数f(x)=a－bcosx的最大值为52 ，最小值为－1

2

，求a， b的值．

题组3：三角函数的单调性与对称性问题

一般地，函数y＝Asin(?x+?)的对称中心横坐标可由?x+?＝k?解得，对称轴可由?x+?＝k?+?

2

解得；

函数y＝Acos(?x+?)的对称中心、对称轴同理可得． 例3求函数y＝sin(

?4－2x)的单调减区间.

变1求函数y?log1cosx的单调减区间．

2

变2已知函数y?tan?x在(???2,2)内是增函数，则?的取值范围为 ．

例4判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)?xcos(3?2?x)； （2）f(x)?lg(sinx?1?sin2x)；