职高数学教案 - 下册

§7.2 平面向量的坐标表示

【教学目标】

知识目标：

（1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示； （2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式. 能力目标：

培养学生应用向量知识解决问题的能力.

【教学重点】向量线性运算的坐标表示及运算法则.

【教学难点】向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键. 【教学设计】

向量只有“模”与“方向”两个要素，为了研究方便，我们首先将向量的起点放置在坐标原点（一般称为位置向量）．设x轴的单位向量为i，轴的单位向量为j．如果点A的坐标为（x，y）,则

????OA?xi?yj， ????????将有序实数对（x，y）叫做向量OA的坐标．记作OA=（x，y）．

【教学过程】

*揭示课题

7.2 平面向量的坐标表示

*创设情境 兴趣导入

????【观察】设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i, y轴的单位向量为j，OA为从原点出发的向

量，点A的坐标为（2，3）(图7－17)．则

?????????OM?2iON?3j．由平行四边形法则知

????????????? OA?OM?ON?2i?3j

图7－17，

【说明】 可以看到，从原点出发的向量，其坐标在数值上与向量终点的坐标是相同的． *动脑思考 探索新知 【新知识】

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?????设i, j分别为x轴、y轴的单位向量，（1）设点M(x,y)，则OM?xi+yj（如图7－18(1)）； （2）设点A(x1,y1)，B(x2,y2)（如图7－18(2)），则

y

y M(x,y) j

j O i x

图7－18

????????????AB?OB?OA?(x2i+y2j)?(x1i+y1j)?(x2?x1)i?(y2?y1)j．A

B

O

i x 由此看到，对任一个平面向量a，都

存在着一对有序实数(x,y)，使得a?xi?yj． 有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作 a?(x,y)．

?????如图7－18（1）所示，起点为原点，终点为M(x,y)的向量的坐标为OM?(x,y)．

????如图7－18（2）所示，起点为A(x1,y1)，终点为B(x2,y2)的向量坐标为AB?(x2?x1，y2?y1)． *巩固知识 典型例题

例1 如图7－19所示，用x轴与y轴上的单位向量i、j表示向量a、b, 并写出它们的坐标．

图7－19

?????????【想一想】观察图7－19，OA与OM的坐标之间存在什么关系？

????????例2 已知点P(2,?1)，Q(3,2)，求PQ，QP的坐标． *运用知识 强化练习

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????????1． 点A的坐标为（－2，3），写出向量OA的坐标，并用i与j的线性组合表示向量OA．

2． 设向量a?3i?4j,写出向量a的坐标．

????????3． 已知A，B两点的坐标，求AB，BA的坐标．

(1) A(5,3),B(3,?1); (2) A(1,2),B(2,1); (3) A(4,0),B(0,?3)． *创设情境 兴趣导入 【观察】

观察图7－20，向量

?????????????????????OA?(5,3),OP?(3,0),OM?OA?OP?(8,3)．可以看到，两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和．

图7－20

*动脑思考 探索新知 【新知识】

设平面直角坐标系中，a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则 a?b?(x1i?y1j)?(x2i?y2j)?(x1?x2)i?(y1?y2)j．

所以 a?b?(x1?x2,y1?y2)． （7．6） 类似可以得到 a?b?(x1?x2,y1?y2)． （7．7）

?a?(?x1,?y1)． （7．8）

*巩固知识 典型例题

例3 设a＝(1,?2), b＝(?2,3)，求下列向量的坐标： (1) a＋b ， (2) ?3 a， (3) 3 a?2 b． *运用知识 强化练习

已知向量a, b的坐标，求a＋b、 a?b、?2 a＋3 b的坐标．

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（1） a＝(?2,3)， b＝(1,1)； （2） a＝(1,0)， b＝(?4, ?3)； （3） a＝(?1,2)， b＝(3,0)． *创设情境 兴趣导入

【问题】前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量a、b，当??0时，有a∥b?a??b

如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？ *动脑思考 探索新知 【新知识】

设a?(x1,y1),b?(x2,y2),由a??b，有x1??x2,y1??y2,于是x1?y2??x2y1，即 x1y2?x2y1?0．

由此得到，对非零向量a、 b，设a?(x1,y1),b?(x2,y2),当??0时，有 a∥b?x1y2?x2y1?0． （7．9） *运用知识 强化练习

判断下列各组向量是否共线： （1） a＝(2,3)， b＝(1,

3)； 2（2） a＝(1, ?1) ， b＝(?2,2)； （3） a＝(2,1) ， b＝(?1,2)．

*归纳小结 强化思想

向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标.

对非零向量a、 b，设a?(x1,y1),b?(x2,y2),当??0时，有a∥b?x1y2?x2y1?0． *继续探索 活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题7.2 A组（必做）；7.2 B组（选做） (3)实践调查：寻找生活中的向量坐标实例 【教师教学后记】

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