弹性力学及其有限元法

在坐标旋转后的新坐标系中，记为

所以，在研究相对位移分量的转换关系时，首先要推导一阶微分算子式（1－34）变换时的转换关系。根据复合函数的求导规则，有

?,??x?y在坐标按

由公式（1－34）的逆表示可以求得

?x?x'?l1,?y?x'?m1,?x?y'?l2,?y?y'?m2

该式指明，一阶线性微分算子列阵的坐标转换规律与坐标分量本身的转换规律相同。

即： （ 1－56） 或

该式就是相对位移向量的转轴公式，与应力张量转换公式（1－44）形式相同，所以相对位移分量也具有张量性质，称为相对位移张量，在平面问题里，它是个二维二阶非对称张量。

七、应变张量的转轴公式，一点的应变状态， 应变张量，主应变，应变主方向，应变不变量

任何一个非对称的二级张量总可以分解为对称和反对称两部分，相对位移张量可以分解

为

（1－57）

等式右边第一个矩阵的元素是由应变分量组成的，表示微元体的变形；第二个矩阵的元素表示微元体的刚性转动。记：

式中，?z称为绕z轴的刚性转动分量。利用式（1－58），式（1－57）可写为 或