弹性力学及其有限元法

根据广义虎克定律，由式（0－16），有?xy?0,?yx?0;和?x???E(?x??y) （1－1）

可见，?不等于零，而是取决于?x和?y。 二、平面应变问题

（一）几何形状特征：物体沿一个坐标轴（例如z轴）方向的长度很长，且所有垂直z轴的横截面都相同，亦即为一等直柱体；位移约束条件或支承条件沿z方向也是相同的。 （二）载荷特征：柱体测表面承受的表面力以及体积力均垂直于zz轴，且分析规律不随z变化。

（三）简化分析

在已给的特殊条件下，考察远离两端垂直于z轴的单位厚度的平面，它与相邻各层可以认为是处于相同情况之下，因而近似于左、右对称，所以不能发生沿z方向的位移，平面内的其它两个位移u，v也将与z无关，即

w?0 u?u(x,y) （1－2） v?v(x,y因而与w有直接关系的?也因z方向的线素不伸长而为零，即?z?0。剩下的应变分量?x,?y,?z和与之对应的应力分量?x,?y,?显然只与x，y有关。因为这类问题仅

存在oxy平面内的位移和应变，所以称为平面应变问题。

第二节 平衡微分方程式

在外力作用下的弹性体处于平衡状态的条件有二：其一是在物体内部任取一微元体都必须是平衡的；其二是在物体边界上任取一微元体也都必须是平衡的。我们利用截面法从弹性体内任取一微元体：体积力被认为均匀的分布在微元体内。

根据微元体处于平衡的条件可以得到三个平衡微分方程式。

（一） 作用于体心M的合力矩为零，即?M??xy??dxdx?????dxdy?t???dy?t???xy?xy????x22?? ?dy??yxdx?t??02y?0；

???dydy?dx?t???y2?

yxyx?等式两边除以tdxdy并合并同类项，得?xy?略去微量，得?xy??1??xy2?xdx??yx?1??yx2?ydy

yx （1－4）这就证明了在绪论中提到的剪力互等定理。

（二） x方向的合力为零，即?Fx?0： ?????????yx????dx?dy?t??xdy?t????dy??yxdx?t?Xdxdy?t?0 yx???x?y???xx约简后两边除以tdxdy，得：

???xx???yx?yy?X?0 （a）

（三） y方向的合力为零，即

??xy?x?F???yy?，类似于（a）的推导可得

??Y?0 （b）

????xy?y???yyx综合式（a）、（b），并注意到?yx??，有

?x??yx??X?0 （1－5）

?X?0?x?这就是平面问题的平衡微分方程式，它表明了应力分量的变化与已知的体积力分量之间的关

系。两个微分方程中包含三个未知函数，所以是超静定问题。因此，还必须研究问题的几何方面和物理方面。

第三节 几何方程式，连续性方程式

在外力作用下，弹性体内任何一点（给定不动位移的边界点除外）都将要产生位移。弹性力学认为弹性体在工作过程中任何部位都不发生开裂、重叠、弯折、错位和相互嵌入等，这就要求位移是位置坐标的连续函数。此外，由于物体的连续性，相邻各点间位移是相互制约的，并且显然与变形有关。所以，位移分量与应变分量必有一确定的几何关系。研究变形，就要研究线素的变化。

根据正应变定义有：

?u??dx??dx?u?dx?u??u?x???? （a）

dx?x?x同理得到y方向线素PB的正应变

???vv?dy?????dy?v?dy?y?v???? （b）

dy?y?y其次，研究PA与PB所夹直角的改变，即求剪应变，它由两部分组成，其一是x方向线素PA向y方向的转角，记为?yx；其二是y方向线素PB向x方向的转角，记为?xy。依剪应变定义，有?xy??yx??yx??xy

由图1－6，并注意小变形，由?yx?tg?yx?AAPA''''''，如是

?yxdx?x ??u???1??dx?x???u?x??1，所以?yx??v但是，在小变形下，

?v?x;同理?xy??u?y。

故 ?xy??yx??v?x??u?y （c）

?x?综合式（a）、（b）、（c），得 ?y??u?x?v?yyx （1－6）

??v?x??u?y?xy??公式（1－6）称为平面问题的几何方程式，它表明了应变分量与位移分量之间的关系。当物体变形时，如能满足这一关系式，各点的位移显然是协调的，即不会发生裂缝，所以，

式（1－6）是在单连域里保证物体连续的充分必要条件。如果真实的位移已经求得，完全可由式（1－6）求出确定的应变，这是无疑问的。需要说明的是，若只从保证物体的连续性考虑，则位移分量只要是坐标的连续函数，且存在连续的一阶导数即可，因为这时可由式（1－6）求得连续的应变分量。反过来，如果真实的应变分量已经求知，也可应用公式（1－6）利用积分求得位移，但不能唯一的确定，彼此可差一物体的刚性位移项，这将在下面讨论。必须指出的是，并非随意一组应变分量都可通过对式（1－6）的积分求出位移。也就是说，要保证物体的位移是连续的，则应变分量之间必须满足一定的条件。

为了导出用应变表示的位移的连续性条件，可由式（1－6）消去位移得到。为此，将其第一式对y求两次导数，第二式对x求两次导数，并相加两式，得

??x?y22???y?x22??u?x?y23??v?y?x23???u?v?????? ?x?y??y?x??2利用公式（1－6）之第三式，得

??x?y22???y?x22???2xy?x?y （1－7）

公式（1－7）称为变形协调方程式，相容方程式，或连续性方程式。可以证明，该式是单连体（体内无孔洞）内用应变分量表示的保证变形物体连续的充分和必要条件。不满足式

（1－7）的应变分量，不可能是真实的变形状态，不能作为问题的解答。

第四节 物理方程式 （一）平面应力问题

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