2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第6章第1节不等式的性质与一元二次不等式含答案

∴－π＜2(α－β)＋(α＋β)＜2π.]

[规律方法] 利用不等式的性质判断正误及求代数式的范围的方法 ?1?利用不等式的范围判断正误时，常用两种方法：,一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案. ?2?比较大小常用的方法 ①作差?商?法：作差?商??变形?判断， ②构造函数法：利用函数的单调性比较大小，,③中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选取0或1作为中间量. ?3?由a0的解集为________．(用区间表示)

???3

(1)?x?x＞2或x＜－1???

??

? ??

(2)(－4,1) [(1)方程2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1，x2＝

?????332??. x＞或x＜－1x?2

2，则不等式2x－x－3＞0的解集为?????

(2)由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－40的解集为(－4,1)．]

?考法2 含参数的一元二次不等式

【例2】 (1)解关于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a＜0. [解] 原不等式可化为(x－a)(x－1)＜0， 当a＞1时，原不等式的解集为(1，a)； 当a＝1时，原不等式的解集为?； 当a＜1时，原不等式的解集为(a,1)． (2)解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1＜0. [解] 若a＝0，原不等式等价于－x＋1＜0， 解得x＞1.

?1?若a＜0，原不等式等价于?x－a?(x－1)＞0，

??1

解得x＜a或x＞1.

?1?若a＞0，原不等式等价于?x－a?(x－1)＜0.

??1?1?①当a＝1时，a＝1，?x－a?(x－1)＜0无解；

??

11?1?②当a＞1时，a＜1，解?x－a?(x－1)＜0，得a＜x＜1；

??11?1?③当0＜a＜1时，a＞1，解?x－a?(x－1)＜0，得1＜x＜a.

??综上所述，当a＜0

???1

时，解集为?x?x＜a或x＞1

???

??

?； ??

当a＝0时，解集为{x|x＞1}； 当0＜a＜1

???1

?1＜x＜时，解集为x?a???

??

?； ??

当a＝1时，解集为?； 当a＞1

???1

时，解集为?x?a＜x＜1

???

??

?. ??

[规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤： ?1?使一端为0且把二次项系数化为正数； ?2?先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法； ?3?写出不等式的解集. 2.解含参数的一元二次不等式的步骤： ?1?二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式； ?2?判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； ?3?确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. (1)已知不等式ax－bx－1>0

－a≥0的解集是( )

A．{x|2

B．{x|x≤2或x≥3}

2

?11??| 的解集是x－2

?11??| C.x3

2

??1?

D.?x?x<3???

?1?

或x>2?

??

B [∵不等式ax－bx－1>0

?11?

?| 的解集是x－2

11

∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－2和x2＝－3，且a<0， 11b－??2－3＝a，∴?1?1??1?

－－????×＝－???2??3?a，

?a＝－6，

解得?

?b＝5.

则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.] (2)解不等式x2＋ax＋1＜0(a∈R)． [解] Δ＝a2－4.

①当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式无解．

②当Δ＝a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，方程x2＋ax＋1＝0的两根为x1＝－a＋a2－4－a－a2－4

，x2＝，

22

则原不等式的解集为

??－a－a2－4－a+a2－4??x??. ＜x＜

22???综上所述，当－2≤a≤2时，原不等式无解．

－a+a2+4?－a-a2－4

当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为x?＜x＜22?

一元二次不等式恒成立问题

【例3】 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.

(1)若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围； (2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围． [解] (1)当m＝0时，f(x)＝－1＜0恒成立． ?m＜0，

当m≠0时，则?即－4＜m＜0. 2

Δ＝m＋4m＜0，?综上，－4＜m≤0，故m的取值范围是(－4,0]．

(2)不等式f(x)＜5－m，即(x－x＋1)m＜6， ∵x2－x＋1＞0，∴m＜记g(x)＝

66

对于x∈[1,3]恒成立，只需求2的最小值，

x－x＋1x－x＋1

22

6

，x∈[1,3]，

x2－x＋1

2

?1?23

记h(x)＝x－x＋1＝?x－2?＋4，

??

h(x)在x∈[1,3]上为增函数，则g(x)在[1,3]上为减函数， 66

∴[g(x)]min＝g(3)＝7，∴m＜7. 6??

所以m的取值范围是?－∞，7?.

??

[规律方法] 与二次函数有关的不等式恒成立的条件,?1?ax2＋bx＋c＞0?a≠0?恒成立的条件是 ?2?ax2＋bx＋c＜0?a≠0?恒成立的条件是 3 (1)若不等式2kx2＋kx－8＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为

( )

A．(－3,0) C．[－3,0]

B．[－3,0) D．(－3,0]

(2)若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________．

??2

(1) D (2)?－，0? [(1)当k＝0时，显然成立；

?2?

3

当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－8＜0对一切实数x都成立． k＜0，??则? ?3?2

－??Δ＝k－4×2k×＜0，???8?解得－3＜k＜0.

3

综上，满足不等式2kx2＋kx－8＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]． (2)由题意得，函数f(x)＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又抛物线f(x)