2012江苏高考数学专题综合训练圆锥曲线

解得P点的坐标为：xP?x0?x1,yP?x0x1 2x0?x1?xP?xP，

32所以△APB的重心G的坐标为 xG?2y0?y1?yPx0?x12?x0x1(x0?x1)2?x0x14xP?ypyG????,

3333所以yp??3yG?4xG，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

21x?(?3y?4x2)?2?0,即y?(4x2?x?2).

3 （2）方法1：因为FA?(x0,x0?),FP?(由于P点在抛物线外，则|FP|?0.

214x0?x1112,x0x1?),FB?(x1,x1?). 244x0?x11112?x0?(x0x1?)(x0?)x0x1?FP?FA44?4, ?2∴cos?AFP?1|FP||FA||FP|22|FP|x0?(x0?)24x0?x11112?x1?(x0x1?)(x1?)x0x1?FP?FB244?4, ?同理有cos?BFP?1|FP||FB||FP|22|FP|x1?(x1?)24∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①当x1x0?0时,由于x1?x0,不妨设x0?0,则y0?0,所以P点坐标为

(x1,0)2，则P点到直线AF的距离为：

d1?|x1|1;而直线BF的方程:y??24141x1?0. 4x12?x114x,

2即(x1?)x?x1y?x1x1|x||(x12?)1?1|(x12?)1424?42?|x1| 所以P点到直线BF的距离为：d2?121x12?(x12?)2?(x1)244所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.

114(x?0),即(x2?1)x?xy?1x?0, ②当x1x0?0时，直线AF的方程：y??0004x0?0442x0?114(x?0),即(x2?1)x?xy?1x?0, 直线BF的方程：y??1114x1?044x12?所以P点到直线AF的距离为：

x?x11x?x111222|(x0?)(0)?x0x1?x0||0)(x0?)42424?|x0?x1|，同理可d1??122122x0?(x0?)2?x044得到P点到直线BF的距离d2?

二、中点弦问题：

|x1?x0|，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB. 2x2?11??y2?1，12、已知椭圆（1）求过点P?，?且被P平分的弦所在直线的方程；（2）求222??斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过A?2，1?引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨

O为原点，OQ斜率满足kOP?kOQ??迹方程；（4）椭圆上有两点P、Q，且有直线OP、

求线段PQ中点M的轨迹方程．

分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：设弦两端点分别为M?x1，y1?，N?x2，y2?，线段MN的中点R?x，y?，则

1，2?x12?2y12?2，?22?x2?2y2?2，??x1?x2?2x，?y?y?2y，?12①②③④①－②得?x1?x2??x1?x2??2?y1?y2??y1?y2??0． 由题意知x1?x2，则上式两端同除以x1?x2，有

?x1?x2?2?y1?y2?y1?y2x1?x2将③④代入得x?2y?0， y1?y2?0．⑤

x1?x2

（1）将x?11y?y21，y?代入⑤，得1故所求直线方程为： 2x?4y?3?0． ⑥ ??，22x1?x222将⑥代入椭圆方程x2?2y2?2得6y?6y?11?0，??36?4?6??0符合题意，442x?4y?3?0为所求．

（2）将

y1?y2（椭圆内部分） ?2代入⑤得所求轨迹方程为： x?4y?0．

x1?x2y1?y2y?1代入⑤得所求轨迹方程为： x2?2y2?2x?2y?0．（椭圆内?x1?x2x?2（3）将部分）

2x12?x22?y12?y2?2， ⑦， 将③④平方并整理得 （4）由①＋②得 ：

2??22x12?x2?4x2?2x1x2， ⑧， y12?y2?4y2?2y1y2， ⑨

4x2?2x1x2?4y2?2y1y2?2， ⑩ 将⑧⑨代入⑦得：

4??再将y1y2??1?1?x1x2代入⑩式得： 2x2?x1x2?4y2?2??x1x2??2， 即 2?2?y2x??1．

122此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．

x2y213、椭圆C:2?2?1(a?b?0)的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且

abPF1?F1F,?|2|PF1414,PF|?|.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过圆233x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于A,B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方

程.

解法一：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以2a?PF1?PF2?6，a=3. 在Rt△PF1F2中，F1F2?2

2

PF2?PF122?25,故椭圆的半焦距c=5,

x2y2?从而b=a－c=4,所以椭圆C的方程为＝1. 942

(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）. 由圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.

x1?x218k2?9k8k?????2. 因为A，B关于点M对称.所以 解得，所以直线l2924?9k的方程为y?8(x?2)?1, 即8x-9y+25=0. (经检验，符合题意) 9解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）. 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1?x2且

xy 1?1?1,

94xy 2?2?1,

94①-②得

2222 ①

②

(x1?x2)(x1?x2)(y1?y2)(y1?y2)??0. ③

94因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2, 代入③得

y1?y288＝，即直线l的斜率为， 99x1?x28（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意. 9所以直线l的方程为y－1＝

y2x29214、已知椭圆2?2?1(a?b?0)的一个焦点F1(0,?22)，对应的准线方程为y??.

ab4?13?（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被点P??, ?

?22?平分，求直线l 的方程.