2020届高考步步高数学(理)一轮复习(京津鲁琼用解析版)第五章 5.5

答案 D

解析 (1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i. (2)i(2＋3i)等于( ) A．3－2i C．－3－2i 答案 D

解析 i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D. 命题点2 复数的除法运算

1＋2i

例2 (1)(2018·全国Ⅱ)等于( )

1－2i43A．－－i

5534C．－－i

55答案 D

1＋2i?1＋2i?21－4＋4i解析 ＝＝

1－2i?1－2i??1＋2i?1－?2i?2＝

－3＋4i34

＝－＋i. 555

43

B．－＋i

5534D．－＋i

55B．3＋2i D．－3＋2i

故选D.

(2)(2018·烟台模拟)已知i是虚数单位，若复数z满足z(1＋i)＝1－i，则z等于( ) A．i B．－i C．1＋i D．1－i 答案 A

1－i?1－i??1－i?解析 由题意，复数z＝＝＝－i，

1＋i?1＋i??1－i?所以z＝i，故选A. 命题点3 复数的综合运算

例3 (1)(2018·达州模拟)已知z(1＋i)＝－1＋7i(i是虚数单位)，z的共轭复数为z，则z等于( ) A.2 C．5 答案 C

－1＋7i?－1＋7i??1－i?解析 z＝＝＝3＋4i，

21＋i故z＝3－4i?|z|＝5，故选C.

B．3＋4i D．7

||

5

α

(2)(2018·成都模拟)对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，有下列四个结论：①αβ＝1；②＝－i；

β③?α?β??＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4

答案 C

解析 对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i， ①αβ＝(1－i)·(1＋i)＝2，故①不正确；

②α1－i?1β＝1＋i＝－i??1－i?－2i?1＋i??1－i?＝2＝－i，故②正确； ③?α?β??＝|－i|＝1，故③正确；

④α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i－1＋1＋2i－1＝0，故④正确．故选C. 思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．

跟踪训练1 (1)已知a∈R，i是虚数单位，若z＝3＋ai，z·z＝4，则a为( ) A．1或－1 B．1

C．－1 D．不存在的实数 答案 A

解析 由题意得z＝3－ai， 故z·z＝3＋a2＝4?a＝±1，故选A.

(2)(2018·潍坊模拟)若复数z满足z(2－i)＝(2＋i)·(3－4i)，则|z|等于( ) A.5 B．3 C．5 D．25 答案 C

解析 由题意z(2－i)＝(2＋i)(3－4i)＝10－5i， 则z＝10－5i?10－5i??2＋i?2－i＝?2－i??2＋i?＝5，所以|z|＝5，故选C.

题型三 复数的几何意义

例4 (1)(2018·天津河东区模拟)i是虚数单位，复数1－i

i在复平面上对应的点位于( A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

答案 C

6

)

1－i?1－i?i1＋i

解析 由题意得＝2＝＝－1－i，因为复数－1－i在复平面上对应的点在第三象

ii－1限，故选C.

(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：

→→

①AO，BC所表示的复数； →

②对角线CA所表示的复数； ③B点对应的复数．

→→→

解 ①∵AO＝－OA，∴AO所表示的复数为－3－2i. →→→

∵BC＝AO，∴BC所表示的复数为－3－2i. →→→→

②∵CA＝OA－OC，∴CA所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. →→→→→③OB＝OA＋AB＝OA＋OC，

→

∴OB所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 即B点对应的复数为1＋6i.

思维升华 复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．

5i跟踪训练2 (1)(2018·洛阳模拟)已知复数z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数z对应的点

3＋4i在( ) A．第四象限 C．第二象限 答案 A

B．第三象限 D．第一象限

(3－4i)5i·5i43

解析 ∵z＝＝＝＋i，

3＋4i(3＋4i)·(3－4i)55

43

∴z＝－i，则z的共轭复数z对应的点在第四象限．故选A.

55

(2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，O为坐标→→→

原点，若OC＝xOA＋yOB，则x＋y的值是________． 答案 5

7

解析 由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)， →→→∵OC＝xOA＋yOB，

∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，

???－x＋y＝3，?x＝1，?∴解得?故x＋y＝5. ?2x－y＝－2，???y＝4，

z11．已知复数z1＝6－8i，z2＝－i，则等于( )

z2A．－8－6i C．8＋6i 答案 C

解析 ∵z1＝6－8i，z2＝－i， z16－8i?6－8i?i∴＝＝＝8＋6i. z2－i－i2?1－i?22．(2018·聊城模拟)设复数z＝，则|z|等于( )

1＋iA．4 B．2 C.2 D．1 答案 C

－2i?1－i?

解析 z＝＝－i(1－i)＝－1－i，

?1＋i??1－i?|－1－i|＝2，故选C.

3．(2018·海淀模拟)已知复数z在复平面上对应的点为(1，－1)，则( ) A．z＋1是实数 C．z＋i是实数 答案 C

解析 由题意得复数z＝1－i，所以z＋1＝2－i，不是实数，所以选项A错误，也不是纯虚数，所以选项B错误．所以z＋i＝1，是实数，所以选项C正确，z＋i是纯虚数错误，所以选项D错误．故选C.

z＋i4．已知i为虚数单位，若复数z满足＝1＋i，那么|z|等于( )

z－iA．1 C.5

B.2 D．5

B．z＋1是纯虚数 D．z＋i是纯虚数 B．－8＋6i D．8－6i

8