高考数列热点问题

【例3】已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．

(1)求数列{an}的通项公式；

1

(2)若bn＝anlog2an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，对任意正整数n，Sn＋(n＋m)an＋1＜0恒成立，试求m的取值范围．

解 (1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q. 依题意，有2(a3＋2)＝a2＋a4， 代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8.

3

?a1q＋a1q＝20，

∴a2＋a4＝20，∴? 2

?a3＝a1q＝8，

1??q＝，?q＝2，

解得?或?2

?a1＝2??a1＝32.

?q＝2，又{an}单调递增，∴?∴an＝2n.

?a1＝2.1

(2)bn＝2n·log2n＝－n·2n，

2

∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①

∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，② ①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1 2?1－2n?＝－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2.

1－2由Sn＋(n＋m)an＋1＜0，

得2n＋1－n×2n＋1－2＋n×2n＋1＋m×2n＋1＜0对任意正整数n恒成立，

11

∴m·2n＋1＜2－2n＋1，即m＜2n－1对任意正整数n恒成立．∵2n－1＞－1，∴m≤－1，

即m的取值范围是(－∞，－1]．

探究提高 数列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转化为函数的最值问题；求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解． 【训练3】已知数列{an}的各项均为正数，且a1＝1，an＝a2n＋1＋2an＋1.

(1)求证：数列{log2(an＋1)}为等比数列；

(2)设bn＝nlog2(an＋1)，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：1≤Sn＜4.

2

证明 (1)∵an＝a2n＋1＋2an＋1，∴an＋1＝(an＋1＋1)，

∵an＞0，∴2log2(an＋1＋1)＝log2(an＋1)， 1

即log2(an＋1＋1)＝2log2(an＋1)，

1

即数列{log2(an＋1)}是以1为首项，2为公比的等比数列． 1

(2)∵数列{log2(an＋1)}是以1为首项，2为公比的等比数列， ?1?n－1

∴log2(an＋1)＝?2?，

???1?n－1?2?， 设bn＝nlog2(an＋1)＝n·??

n－1n－123n112

则数列{bn}的前n项和为Sn＝1＋2＋22＋…＋n－2＋n－1，2Sn＝2＋22＋…＋2n－122n

＋2n. 两式相减得

1111n??1?n?n

??2??－n， S＝1＋＋＋…＋－＝21－n2n222????22n－12n＋2?1?n－1

?2?＞0， ∴Sn＝4－n－1＜4，∵bn＝n·??2∴Sn≥S1＝1，∴1≤Sn＜4.

(建议用时：80分钟)

1．(2014·西安质量检测)在等比数列{an}中，已知a3＝8，a6＝64. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.

解 (1)设{an}的首项为a1，公比为q，

由已知得8＝a1q2,64＝a1q5，解得q＝2，a1＝2， 所以an＝2n.

(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.

?b1＋2d＝8，?b1＝－16，

设{bn}的公差为d，则有?解得?

?b1＋4d＝32，?d＝12，从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，

n?－16＋12n－28?2

所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝6n－22n.

2

2．(2015·太原模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；

?bn?

(2)设?a?是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn.

?n?

3×24×5?

?3a1＋d＋5a＋d＝50，1

22解 (1)依题意得?

2???a1＋3d?＝a1?a1＋12d?，?a1＝3，

解得?

?d＝2，∴an＝2n＋1.

bn(2)∵a＝3n－1，∴bn＝an·3n－1＝(2n＋1)·3n－1，

n

∴Tn＝3＋5×3＋7×32＋…＋(2n＋1)×3n－1，

3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)×3n－1＋(2n＋1)×3n，两式相减得， －2Tn＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n 3?1－3n－1?＝3＋2×－(2n＋1)×3n＝－2n×3n，

1－3∴Tn＝n×3n.

2x＋3?1?

3．已知函数f(x)＝3x，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f?a?，n∈N*，

?n?(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn. 2＋3

2＋3an2?1?an

解 (1)∵an＋1＝f?a?＝3＝3＝an＋3，

?n?

an

221

∴{an}是以3为公差的等差数列．又a1＝1，∴an＝3n＋3. (2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1 ＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1) ?54n1?n?＋＋?44?333?＝－3(a2＋a4＋…＋a2n)＝－3· 24

＝－9(2n2＋3n)．

4．设数列{a2n－1}是首项为1的等差数列，数列{a2n}是首项为2的等比数列，数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，已知S3＝a4，a3＋a5＝a4＋2. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)比较S2n与2n＋n2的大小，并说明理由．

解 (1)设等差数列{a2n－1}的公差为d，等比数列{a2n}的公比为q， 则a1＝1，a2＝2，a3＝1＋d，a4＝2q，a5＝1＋2d， 所以4＋d＝2q，(1＋d)＋(1＋2d)＝2＋2q， 解得d＝2，q＝3. 所以an＝错误!(k∈N*)．

(2)当n＝1时，S2n＝S2＝a1＋a2＝3,2n＋n2＝21＋11＝3， 所以S2n＝2n＋n2；

?1＋2n－1?n2?1－3n?2n2n2

当n≥2时，S2n＝＋＝n－1＋3＝n－1＋(1＋2)＞n－1＋

21－32n＋1＝n2＋2n.

综上所述，当n＝1时，S2n＝2n＋n2； 当n≥2时，S2n＞2n＋n2.

5．已知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项． (1)求数列{an}的通项公式；

1

(2)若bn＝an＋log2a，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋47<0成立的n的最小

n

值．

解 (1)设等比数列{an}的公比为q，依题意，有