西南林业大学力学竞赛模拟试题及答案2

力学竞赛模拟题（西南林业大学土木工程学院）

1、电影中，常见到这样的街头表演：一人躺在地上，身上压着一块石板，另一人挥铁锤猛击石板，石板破了而其底下的人却安然无恙。 请你分析一下：

（1）本问题与力学中什么内容有关？

（2）要使下面的人安然无恙，对石头有什么要求？ 解答：

（1）本问题与力学中平均压力和碰撞的能量损失有关。

（2）要使下面的人安然无恙，对石头的要求有：石板与身体要有尽可能大的接触面积； 在身体承受范围内，石板越重越好，在这种条件下，由于石板的作用，铁锤的动能传给身体时已经损失过半；同时，身体有大的面积来吸收传过来的能量，身体的变形将会大大减小，因此，表面上看起来令人难以承受的表演，实际上可能还是很轻松的。分析如下： ①平均压力：根据F?ps 其中：p—平均压力；s—接触面积

可知：F一定时，当锤直接接触人，接触面积s很小，p就很大，引起的局部变形就很大。当锤直接接触石板，力通过石板传递到人，石板与人的接触面积s较大，p就要减小很多。由于石板也有自重，又增加了人的承受的平均压力。因此从平均压力的角度看对石板的要求：石板与身体有尽可能大的接触面积，另外石板自重要偏小。 ②碰撞的能量损失

如果没有石板，铁锤的动能绝大部分（视身体与铁锤的恢复系数而定）被身体的变形能。添加石板后，若把铁锤和石板简化为质点m1、m2，设两者间的恢复系数为k，铁锤碰到石板前的动能为T0?1m1u12。根据碰撞理论，铁锤打击石板后，系统动能损失为：2?1?k?T?T?20?m1???1?m??2??。由于k、m1、T0可以视为常数，所以石板m2越大，系统（铁锤和石板）

的动能损失就越大。这些损失的动能转化为热能、声能，以及本铁锤的变形及石板的破裂所吸收，剩下的能量?T??T?被表演者吸收转变为身体的变形能。因此，表演者当然希望石板m2大一些，?T大一些好。

2、两辆汽车匀速前进如图1所示，A车沿直线行驶，

OA?x0??At，B车沿圆周行驶，???t，圆周半径

为R。可以发现，A车上的乘客看到B车的运动与B车

上乘客看A车的运动是不同的。请分析一下： （1）本问题与力学中什么内容有关？

（2）利用力学知识分析A车上的乘客看到B车的相对运动和B车上乘客看A车的相对运动。

（3）我们知道rAB??rBA，为什么A车上的乘客看到B车的运动与B车上乘客看A车的运动不同呢？ 答：（1）本问题与力学中点的运动分析内容有关。

（2）a) 建立动坐标系AxAyA与A车固结。如图1所示，根据向径的关系，有rAB?rB?rA，

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力学竞赛模拟题（西南林业大学土木工程学院）

其中rAB就是A车上的乘客所看到的B车的向径，把rAB向动坐标系AxAyA投影有

x?Rcos?t??x0?vt???y?Rsin?t?(1)

利用计算机作图，若设R=1000m，

x0?2000m,??0.1rad/s,vA?10m/s,t?200s,可得到方程（1）的轨迹如图2所示。其中的小圆圈表示初始时的相对位置。建立动坐标系BxByB与B车固结（图3），根据向径的关系，有rBA?rA?rB 其中rBA就是B车上的乘客所看到的A车的向径，把

rBA向动坐标系BxByB投影有：

x??x0?vt?sin?t??y??x0?vt?cos?t?R?(2)

b) 在前面所给的参数下，可得方程（2）的轨迹为图4。

（3）我们知道rAB??rBA，但为什么双方所看到的相对轨迹不同？这与矢量在不同坐标系的分解有关。

3、杂技演员使圆盘高速转动，并在地面上向前抛出不久圆盘可自动返回到演员跟前。请分析一下： （1）本问题与力学中什么内容有关？ （2）利用力学知识分析一下圆盘的运动 答：

（1） 本问题与力学中质心运动定理和 动量矩定理内容有关。

（2）利用力学知识分析一下圆盘的运动。 设圆盘在开始时盘心速度大小为v0，角速

度大小为?0，以后为v和?，方向如图6.22a所示。圆盘半径为R，质量为M，它与地面

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力学竞赛模拟题（西南林业大学土木工程学院）

的摩擦系数为μ。于是圆盘上与地面接触点的速度大小是u?v?R?。

第一阶段，u?0。圆盘相对地面有向前（x的正方向）的滑动则摩擦力f??N，指向负x方向，式中N=Mg。由质心运动定理Mdv???Mg；解得v?v0??gt；t?t*时，盘dt心速度v?v0，以后圆盘将继续向前无滑动地滚动下去。显然v*?0的情况对应于圆盘可以自己滚回来的条件，由于导出必有?0?2v0/R；在这种情况下（图（b））,在时刻

t?t'?t'?t*?，v等于零，圆盘开始往回滚。因此它所走的最远距离是v0/2?g。在

2（如果初条t'?t?t*时间间隔内，它连滚带滑地往回滚，t?t*以后就是无滑动地往回滚。件给得很特殊，即?0?2v0/R，则将出现怎样的运动情况？） 由对质心的动量矩定理：

1d?MR2???MgR；解得 ???0??g?2t/R? 2dt这说明由于摩擦力的作用，圆盘的质心速度的大小*越来越小，转动角速度也越来越小。

第二阶段，从条件u?0被满足的那个时刻开始，从此以后圆盘相对地面没有滑动，所以不再有摩擦力，又因为圆盘在水平方向没有其他外力作用，所以圆盘将以等角速度无滑动地滚动下去。 将v?t?曲线和R??t?曲线同画在

一张图上（它们的正方向一正一反），是两条斜直线（图6.23）。两斜直线的竖直距离等于v?R?，既u。两斜线在C点相交的时刻t*就是u?0刚开始被满足的瞬时。由u?0，解得t*??v0?R?0?/?3?g?；此时质心的速度大小为v*?v0??gt*。可能有两种情况：）或v*?0（图6.23（b））。 当v*?0并且t?t*时，圆盘与地面间v*?0（图6.23（a）

有相对滑动，直到t?t*时，盘心速度v?v*，以后圆盘将继续向前无滑动地滚动下去。显然v*?0的情况对应于圆盘可以自己滚回来的条件，由此导出必有：?0??2v0/R?，在（图6.23（b））情况下，在时刻t?t??t??t*?，v等于零，圆盘开始往回滚。因此它所走的最

2远距离是v0/2?g。在t??t?t*时间间隔内，它连滚带滑地往回滚，t?t*以后就是无滑

动地往回滚。

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力学竞赛模拟题（西南林业大学土木工程学院）

4、如图所示由相同材料和相同截面尺寸的等直杆组成的桁架，当重物从H的高度下落到D点时，动力放大系数（最大冲击载荷与对应静荷载之比）为10。若将桁架各杆的截面面积提高50%，而保持结构其余几何参数，重物下落的高度和位置不变，则： （1）本问题与力学中什么内容有关？ （2）动力放大系数变为多少？

（3）在安全因数相同的条件下，重物的许用重量提高多少？（忽略桁架质量及冲击过程的能量损失，并设结构为线弹性）

答： （1） 本问题与力学中动荷载和动应力内容有关。 （2）设动力放大系数为K，则：K?1?1?2H (1) ?st其中?st为D点静位移，将K=10代入上式得：

2H?80 (2) ?st桁架为线弹性结构，静位移与杆截面面积A成反比：?st?S/A (3)

其中S与截面积无关。设横截面积增加后的桁架D点的静位移为?st，动力放大系数为K*，许用载荷为?P*?，则：?st/?st?**S?S?2/???； 1.5A?A?32H故： ?st*:2H32H?,?120?st2?st*；K*?1?1?120?12

（3）桁架最大动应力与动荷载Pd成正比，与杆横截面积成反比：?d,max?C,PdKP?C? AA其中Pd和P分别为动载和对应静载，C与Pd和A无关。当新旧桁架许用最大动应力相等

K*?P*?K?P??C1.5AA5时安全因数相同： ?P*???P?

4?P*???P??25%?P?C

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力学竞赛模拟题（西南林业大学土木工程学院）

5、物块C的重量为G，置于悬臂梁AB上，梁长L，弯曲刚度EI，物块与梁间的摩擦系数为?，则

（1）本问题与力学中什么内容有关？ （2）物块开始滑动时的位置； （3）物块滑离B端时的速度。（摘自力学小问题P150） 答：

（1）本问题与力学中摩擦、运动学、能量守恒、弯曲变形内容有关。

（2）设物块开始滑动时的位置为s，如图所示，则AD段的

Gx2?3s?x? ?0?x?s? 曲线方程为：y??6EIGs2则可知转角?D?y?D??2EI?1?；由静力平衡条件，求得

sD，物块开始滑动的条件为：摩擦力F??Gco?由上面两式解得：将（1）Gsin?D?F，tna?D??D??，式代入上式，即可得到物块开始滑动时的位置：

?2EI??s????G?1/2

Gs2;（3）物块由D处滑至B处，在此阶段的始、末两处的度分别为：fD??3EIGL2fB??

3EI设物块滑离B端时的速度为v，W为摩擦力在此滑动过程中所作的功，由能量守恒定律可

?GL3?Gs3?Gv2??G??W得：??2g?3EI?(2)；假设物块很小，其转动动能可以不计。由于

dW?Fds，

ds?1?y?2??1/2dx；cos??dx?1?y?2ds???1/2，故dW??Gdx，

积分可得：W??G?L?s??3?

??G2??L?Ls?s2???? 将（3）式代入（2）式，解得：v??2g?L?s???3EI?????1/2

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