2016年湖北省荆门市中考数学试卷

【分析】由对称性可知O为AB的中点，则当△PAB为等腰三角形时只能有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），可分别表示出PA和PB，从而可得到关与x的方程，可求得x，可求得P点坐标． 【解答】解：

∵反比例函数y=图象关于原点对称，

∴A、B两点关于O对称，

∴O为AB的中点，且B（﹣1，﹣2），

∴当△PAB为等腰三角形时有PA=AB或PB=AB， 设P点坐标为（x，0）， ∵A（1，2），B（﹣1，﹣2）， ∴AB=

，

当PA=AB时，则有或（5，0）； 当PB=AB时，则有

=2

，解得x=3或﹣5，此时P点坐标为（3，0）

=2

，解得x=﹣3或5，此时P点坐标为（﹣3，0）=2

，PA=

，PB=

或（﹣5，0）；

综上可知P点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）， 故答案为：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和反比例函数的对称性，判断出只有PA=AB或PB=AB两种情况是解题的关键，注意方程思想的应用．

三、解答题（本题共7小题，共69分） 18．（8分）（2016?荆门）（1）计算：|1﹣

|+3tan30°﹣（

）﹣（﹣）．

0

﹣1

（2）解不等式组．

【分析】（1）首先去掉绝对值符号，计算乘方，代入特殊角的三角函数值，然后进行加减计算即可；

（2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【解答】解：（1）原式=

﹣1+3×

﹣1﹣（﹣3）=

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﹣1++3=2；

（2）解①得x＞﹣， 解②得x≤0，

则不等式组的解集是﹣＜x≤0．

【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 19．（9分）（2016?荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF． （1）补充完成图形；

（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．

【分析】（1）根据题意补全图形，如图所示；

（2）由旋转的性质得到∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直角，利用SAS得到三角形BDC与三角形EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证． 【解答】解：（1）补全图形，如图所示； （2）由旋转的性质得：∠DCF=90°， ∴∠DCE+∠ECF=90°， ∵∠ACB=90°，

∴∠DCE+∠BCD=90°， ∴∠ECF=∠BCD， ∵EF∥DC，

∴∠EFC+∠DCF=180°， ∴∠EFC=90°，

在△BDC和△EFC中，

，

∴△BDC≌△EFC（SAS）， ∴∠BDC=∠EFC=90°．

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【点评】此题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键． 20．（10分）（2016?荆门）秋季新学期开学时，红城中学对七年级新生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格，现学校随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了如下不完整的图表： 分 数 段 频数 频率 9 a 60≤x＜70 36 0.4 70≤x＜80 27 b 80≤x＜90 90≤x≤100 c 0.2 请根据上述统计图表，解答下列问题：

（1）在表中，a= 0.1 ，b= 0.3 ，c= 18 ； （2）补全频数直方图；

（3）根据以上选取的数据，计算七年级学生的平均成绩． （4）如果测试成绩不低于80分者为“优秀”等次，请你估计全校七年级的800名学生中，“优秀”等次的学生约有多少人？

【分析】（1）根据表格中的数据可以求得抽查的学生数，从而可以求得a、b、c的值； （2）根据（1）中c的值，可以将频数分布直方图补充完整；

（3）根据平均数的定义和表格中的数据可以求得七年级学生的平均成绩； （4）根据表格中的数据可以求得“优秀”等次的学生数． 【解答】解：（1）抽查的学生数：36÷0.4=90， a=9÷90=0.1，b=27÷90=0.3，c=90×0.2=18， 故答案为：0.1，0.3，18；

（2）补全的频数分布直方图如右图所示， （3）∵

即七年级学生的平均成绩是81分； （4）∵800×（0.3+0.2）=800×0.5=400， 即“优秀”等次的学生约有400人．

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=81，

【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、加权平均数，解题的关键是明确题意，利用表格中的数据，求出所求问题的答案． 21．（10分）（2016?荆门）如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为走速度是多少？

米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行

【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，根据直角三角形的性质用x表示出AC与BC的长，再根据小明与小军同时到达山顶C处即可得出结论． 【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒， ∵∠A=45°，CD⊥AB， ∴AD=CD=x米， ∴AC=x． 在Rt△BCD中， ∵∠B=30°， ∴BC=

=

=2x，

∵小军的行走速度为∴

=

米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，

，解得a=1米/秒．

答：小明的行走速度是1米/秒．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．

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