河北省邢台市高中物理 第六章 万有引力与航天 第6课时 万有引力定律学案（无答案）新人教版必修2

学案6 万有引力定律

【学习目标】

1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用. 2.理解“计算天体质量”的基本思路.

3.掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的思路． 【学习任务】 [问题设计]

1．卡文迪许在实验室测量出了引力常量G的值，从而“称量”出了地球的质量，你知道他是怎样“称量”地球质量的吗？

[要点提炼] 1．地球质量的计算

MmgR

在地面上，忽略地球自转的影响，由mg＝G2可以求得地球的质量：M＝.

RG2．其他星球质量的计算

若已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g，与地球质量的计算方法类似，即可计算出此gR

天体的质量M＝. G二、计算天体的质量和密度 [问题设计]

1．我们知道行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的，如果我们要“称量”出太阳的质量，应该知道哪些条件？

2．天体质量及半径求出后，如何得到天体的平均密度？

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2

2

[要点提炼]

1．计算天体质量的方法

分析围绕该天体运动的行星(或卫星)，测出行星(或卫星)的运行周期和轨道半径，由万有引GMm4π4πr

力提供向心力即可求中心天体的质量．由2＝m2r，得M＝2. rTGT2．天体密度的计算方法

M

根据密度的公式ρ＝，只要先求出天体的质量就可以代入此式计算天体的密度．

43πR3(1)由天体表面的重力加速度g和半径R，求此天体的密度． GMm43g3

由mg＝2和M＝ρ·πR，得ρ＝.

R34πGR

(2)若天体的某个行星(或卫星)的轨道半径为r，运行周期为T，中心天体的半径为R，则由Mm4π433πr

G2＝mr2和M＝ρ·πR，得ρ＝23. rT3GTR

注意 R、r的意义不同，一般地R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，若绕近地3π轨道运行，则有R＝r，此时ρ＝2. GT三、天体运动的分析与计算

1．基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供． 2．常用关系：

Mmv4π2

(1)G2＝ma向＝m＝mωr＝m2r

rrT(2)忽略自转时，mg＝GMm2

2(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gRR

2

2

2

3

2

23

＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”．

3．四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动． Mmv

(1)由G2＝m得v＝

rr

2

GM

，r越大，v越小． r

GM

3，r越大，ω越小． r

r

，r越大，T越大． GM

3

Mm2

(2)由G2＝mωr得ω＝ r

Mm2π2

(3)由G2＝m()r得T＝2π

rT

MmGM

(4)由G2＝ma向得a向＝2，r越大，a向越小．

rr

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一、天体质量和密度的计算

例1 地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为( ) A.

3g3g

B.2 4πRG4πRG

ggC. D.2 RGRG

例2 假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星．若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G. (1)则该天体的密度是多少？

(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？

二、天体运动的分析与计算

例3 质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的( ) A．线速度v＝ GM

B．角速度ω＝gR R

RGm D．向心加速度a＝2 gR

C．运行周期T＝2π

例4 据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 Cancri e”．该1

行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60

480

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倍．假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的( )

360A．轨道半径之比约为

480

3

B．轨道半径之比约为 602 480

32

C．向心加速度之比约为 60×480 3

D．向心加速度之比约为 60×480

【补充学习材料】

1．(天体质量的计算)“嫦娥三号”探月卫星于2013年12月2日凌晨在西昌卫星发射中心发射，实现了“落月”的新阶段．若已知引力常量为G，月球绕地球做圆周运动的半径为r1、周期为T1，“嫦娥三号”探月卫星做圆周运动的环月轨道半径为r2、周期为T2，不计其他天体的影响，根据题目条件可以( ) A．求出“嫦娥三号”探月卫星的质量 B．求出月球的质量 r1r2C．得出2＝2 T1T2

D．求出地球的密度

2．(天体密度的计算)一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要( )

A．测定飞船的运行周期 B．测定飞船的环绕半径 C．测定行星的体积 D．测定飞船的运行速度

3．(天体运动的分析与计算)据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 km和100 km，运行速度分别为v1和v2，那么，v1和v2的比值为(月球半径取1 700 km)( ) 19A. B.18

19

C.18

1818 D. 1919

3

3

4．(天体运动的分析与计算)一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，

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