二轮复习：数列中的几个重点问题的分析

求的最小整数m为10.

四、极限思想

例题19 设函数f(x)?1,点A0表示原点，点An(n,f(n))(n?N?).若向量x?1?????????????????设an?A0A1?A1A2???An?1An,?n是an与i的夹角（其中i?(1,0)），ySn?tan?1?tan?2???tan?n,则limSn? 。

n??解：如图

an??????f?n?111an?A0An??n,f(n)?,tan?n????,

nn(n?1)nn?1?Sn?tan?1?tan?2???tan?n?1?1?limSn?1 n??n?12nx?1oi1例题20 （03年上海数学高考）已知A(0,),B(0,示?ABC外接圆的面积，则limSn? 。

n???22),C(4?,0)其中n为正整数，设Sn表nn解：此题一般地考虑方法是先求出?ABC的外接圆的方程，然后得出圆的面积，最后求得limSnn??的结果，但整个过程的计算比较烦琐，很容易导致计算出错。

但如果从极限的思想出发，首先考虑的是当n??时这三个点的变化的位置，A,B趋于原点，

C点趋于C(4,0)然后看得圆的半径为2，从而所求圆的面积为4?。

例题30 （07年上海数学高考卷（文）第12题）如图，A，B是直线l上的两点，且AB?2．两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与 线段AB围成图形面积S的取值范围是 ． 解：当两圆半径r??时，点C趋向直线AB。

C l

?S?0.当两圆相外切时，r?1.

A B 1??????S扇形???12，?S?2??2?2?. ?S??0,2??

4422??例题21 （09上海高考题）已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比例数列。 （1）若an?3n?1，是否存在m,k?N?,有am?am?1?ak？说明理由； （2）找出所有数列{an}和{bn}，使对一切n?N,?an?1?bn，并说明理由； an 17

（3）若a1?5,d?4,b1?q?3，试确定所有的p，使数列{an}中存在某个连续p项的和是数列{bn}中的一项，请证明。

[解]（1）由am?am?1?ak，得6m?5?3k?1,

整理后，可得k?2m?4, 3?m,k?N*,?k?2m为整数， ?不存在m,k?N*，使等式成立

an?1a1?nd?bn，即?b1qn?1 （*） ana1?(n?1)d

（2）解法一：若

（i）若d?0，则1?b1qn?1?bn.

当{an}为非零常数列，{bn}为恒等于1的常数列，满足要求

（ii）若d?0，

（*）式等号左边取极限和lima1nd?1，

a??a?(n?1)d1（*）式等号右边的极限只有当q?1时，才可能等于1 此时等号左边是常数，

?d?0,矛盾。

综上所述，只有当{an}为非零常数列，{bn}为恒等于1的常数列，满足要求。 解法二：设an?nd?c,若

an?1?bn，对n?N*都成立，且{bn}为等比数列， an

则

an?2an?12/?q，对n?N*都成立，即anan?2?qan?1 an?1an

?(dn?c)(dn?2d?c)?q(dn?d?c)2对n?N*都成立， ?d2?qd2

（i）若d?0，则an?c?0，

?bn?1,n?N*

即

* （ii）若d?0，则q?1, ?bn?m（常数），

dn?d?c?m， 则d?0，矛盾。

dn?c综上所述，有an?c?0,bn?1，使对一切n?N,nan?1?bn an （3）an?4n?1,bn?3,n?N*

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设am?1?am?2???am?p?bk?3k,p,k?N*,m?N.

4(m?1)?1?4(m?p)?1p?3k,

2

3k?4m?2p?3?

9?p,k?N*,?p?3?,??N

取k?3s?2,4m?32s?2?2?3s?3?(4?1)2s?2?2?(4?1)s?3?0 由二项展开式可得正整数M1、M2，使得(4?1)2s?2?4M1?1,

y

2?(4?1)N?8M2?(?1)s2,

?4m?4(M1?2M2)?((?1)s?1)2，

C?存在整数m满足要求。

故当且仅当p?3,s?N时，命题成立

AOB1C2A1B2sA2C1 Bx练习：1、如图，连结?ABC的各边中点得到一个新的?A1B1C1,又连结?A1B1C1的各边中点得到?A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系

列三角形：?ABC，?A1B1C1，?A2B2C2，...，这一系列三角形趋向于一个点M。已知

A(0,0),B(3,0),C(2,2),则点M的坐标是（ ） 3112525A. （，1） ，） ，）1 B.（ C. （，） D.（

263333?1??1???1n?2．已知p和q是两个不相等的正整数，且q≥2，则lim??（ ） qn→??1??1???1?n?pp?1A．0 B．1 C． D．

qq?13．在数列?an?中,若a1,a2是正整数,且an?an?1?an?2,n?3,4,5?,则称?an?为”绝对差数

列”.

(1) 举出一个前五项不为零的”绝对差数列”.(只要求写出前十项);

(2) 若”绝对差数列” ?an?中,a20?3,a21?0,在,求出其极限值; 答案：1。（A）；2。（C）；

p数列

?bn?满足

bn?an?an?1?an?2,n?1,2,3?,分别判断当n??时,an与bn的极限是否存在,如果存

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3。（1）a1?3,a2?1,a3?2,a4?1,a5?1,a6?0,a7?1,a8?1,a9?0,a10?1.(答案不唯一) （2）因为在绝对差数列?an?中,a20?3,a21?0,所以自20项开始,该数列是

a20?3,a21?0,a22?3,a23?3,a24?0,a25?3,a26?3,a27?0,?.即自第20项开始,每三个相邻的项周期地取值3,0,3所以当n??时,an的极限不存在. 当n?20时,bn?an?an?1?an?2?6,所以limbn?6.

n??

五、数列与函数的联系

从函数的的观点看，数列可以看成定义域为正整数集N?或它的有限集?1，2，?，n?上的函数an?f(n)，当自变量n（项数）从小到大依次取值时，所对应的一列函数值f(n)。比如等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d，当d?0，可以理解为an关于

n的一次函数，

Sn?na1?n(n?1)d，当d?0，同样可视为Sn关于n的二次函数；又如数列的前n项和Sn与2通项an的关系an???S1，当n?1时;??Sn?Sn?1，当n?2，n?N时.，也可示为an关于n的函数。借助函数的

单调性的定义，进一步还可产生递增或递减数列的概念。从定义上数列可以看作特殊的函数，因此处理数列问题要善于沟通与函数联系，用函数的观点、思想、方法来解决数列问题。

例题22 已知?an?是等差数列，公差d?0，设Sn?a1?a2???an，则在数列?Sn?中（ ） A. 任一项均不为零 B. 必有一项为零

C. 至多一项为零 D. 没有一项为零或无穷多项为零

思路点拨：本题考查等差数列求和公式的特点。等差数列求和公式形如Sn?an2?bn，这是二次函数（抛物线）形式。 解：?Sn?

x例题23 已知f (x)为偶函数,且f (2+x) = f (2-x)，当?2?x?0时,f(x)?2,若

d2dn?(a1?)n,令Sn?0，至多只有一个正整数解，选C。 22n?N,an?f(n),则a2009= ( ).

A. 2009 B. 2 C.

1 D. ?1 2思路点拨：本题充分说明了数列与函数之间的关系，要通过函数的相关性质来解。 解：由f (x)为偶函数,且f (2+x) = f (2-x)，则f(x)?f(4?x),f(?x)?f(x)，

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