《精品》2017-2019三年高考真题专题15概率与统计（解答题）-数学（文）分项汇编（解析版）

?(i?8.5)i?1162?18.439，?(xi?x)(i?8.5)??2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，

i?116i?1,2,???,16．

（1）求(xi,i)(i?1,2,???,16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|?0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x?3s,x?3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（ⅱ）在(x?3s,x?3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）

附：样本(xi,yi)(i?1,2,???,n)的相关系数r??(x?x)(y?y)iii?1n?(x?x)?(y?y)2iii?1i?1nn，0.008?0.09．

2【答案】（1）r??0.18，可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小；（2）（ⅰ）需对当天的生产过程进行检查；（ⅱ）均值与标准差的估计值分别为10.02，0.09．

.7,【分析】（1）依公式求r；（2）（i）由x?902.s12?，得抽取的第13个零件的尺寸在(x?3s,x?3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查；（ii）剔除第13个数据，则均值的估计值为10.02，方差为0.09．

【解析】（1）由样本数据得(xi,i)(i?1,2,,16)的相关系数为

r??(x?x)(i?8.5)ii?116?(x?x)?(i?8.5)2ii?1i?11616?2?2.78??0.18．

0.212?16?18.439由于|r|?0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小． （2）（i）由于x?9.97,s?0.212，

由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x?3s,x?3s)以外，

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因此需对当天的生产过程进行检查．

（ii）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为

1(16?9.97?9.22)?10.02， 15这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02．

?xi?1162i?16?0.2122?16?9.972?1591.134，

剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为

1(1591.134?9.222?15?10.022)?0.008， 15这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.008?0.09．

【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点．

13．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售

价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温 天数 [10，15） 2 [15，20） 16 [20，25） 36 [25，30） 25 [30，35） 7 [35，40） 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

【答案】（1）0.6；（2）Y的所有可能值为900，300，-100，Y大于零的概率为0.8．

【分析】（1）先确定需求量不超过300瓶的天数为2?16?36?54，再根据古典概型的概率计算公式求概率；（2）先分别求出最高气温不低于25（36天），最高气温位于区间[20，25）（36天），以及最高气温低于20（18天）对应的利润分别为900,300,?100，所以Y大于零的概率估计为

36?25?7?4?0.8．

90【解析】（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，

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由表格数据知，最高气温低于25的频率为

，

所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6． （2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时， 若最高气温不低于25，则Y=6 450-4 450=900；

若最高气温位于区间[20，25），则Y=6 300+2（450-300）-4 450=300； 若最高气温低于20，则Y=6 200+2（450-200）-4 450=-100． 所以，Y的所有可能值为900，300，-100． Y大于零当且仅当最高气温不低于20， 由表格数据知，最高气温不低于20的频率为因此Y大于零的概率的估计值为0.8．

【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法： （1）列举法；

（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；

（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化． 14．【2017年高考北京卷文数】某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分

[20，30]，[30，40]，层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：

，

，

（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；

（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

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【答案】（1）0.4；（2）20；（3）3:2．

【分析】（1）根据频率分布直方图，表示分数大于等于70的概率，就求最后两个矩形的面积；（2）根据公式：频数=总数?频率进行求解；（3）首先计算分数大于等于70的总人数，根据样本中分数不小于70的男女生人数相等再计算所有的男生人数，100?男生人数就是女生人数．

【解析】（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02?0.04)?10?0.6， 所以样本中分数小于70的频率为1?0.6?0.4．

所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4．

（2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01?0.02?0.04?0.02)?10?0.9， 分数在区间[40,50)内的人数为100?100?0.9?5?5． 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400?5?20． 100（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02?0.04)?10?100?60， 所以样本中分数不小于70的男生人数为60?1?30． 2所以样本中的男生人数为30?2?60，女生人数为100?60?40， 男生和女生人数的比例为60:40?3:2．

所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2．

【名师点睛】（1）用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法．分布表在数量表示上比较准确，而直方图比较直观．

（2）频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1．

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