上海市长宁区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案)

三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）由|2x?3|?5得 ?5?2x?3?5，……………………4分 解得 ?1?x?4．

所以原不等式的解集是 (?1,4)．…………………………………6分 （2）原不等式可化为2?2x?x??2x?6??0， ……………………4分

因为2?2?0，所以2?6， ……………………………………5分 解得 x?log26． ………………………………………7分

所以原不等式的解集是?log26,???． ……………………………8分 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

（1）解：因为侧棱PD?底面ABCD，

则侧棱PB在底面ABCD上的射影是DB，

所以?PBD就是侧棱PB与底面ABCD所成的角，即?PBD?15?．……2分 在?PDB中，?PDB?90?,DB?由tan?PBD?xAD2?CD2?42(m)， ………3分

PDPD得 tan15??，解得 PD?1.52(m)． ………5分 DB42所以立柱PD的长约为 1.52m． ………………………………6分 （2）由题意知底面ABCD是长方形，

所以?BCD是直角三角形． ………………………2分 因为侧棱PD?底面ABCD， 得PD?DC,PD?DB,PD?BC，

所以?PDC、?PDB是直角三角形． …………………………4分 因为BC?DC，BC?PD，又PD?DC?D，DC,PD??平面PDC， 所以BC?平面PDC． …………………………………………6分 又因为PC??平面PDC，所以BC?PC，

所以?PBC 为直角三角形． …………………………………7分 由鳖臑的定义知，四面体PDBC为鳖臑． ………………………8分 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

高三数学试卷 共4页第5页

a2?c2?b2b2?c2?a2,cosA?（1）证明：由余弦定理得 cosB?，

2ac2bca2?c2?b2b2?c2?a2?b?则 acosB?bcosA?a?

2ac2bca2?c2?b2b2?c2?a2???c

2c2c所以 acosB?bcosA?c． ……………………………3分 由题意得 (a?bi)?(cosA?icosB)?3i， 即 (acosA-bcosB)?(acosB?bcosA)i?3i，

由复数相等的定义可得

acosA-bcosB?0，且acosB?bcosA?3 ，………………………5分 即 c?3． ………………………………………………6分 （2）由（1）得 acosA-bcosB?0． ………………………1分 由正弦定理得 sinA?cosA?sinB?cosB?0，

即 sin2A?sin2B． ……………………………………………………2分 因为 A?(0,?)、B?(0,?)， 所以 2A?2B 或 2A?2B??， 即 A?B或A?B??2，即A?B或C??2．

所以 ?ABC知等腰三角形或直角三角形．………………………………4分

c?3当A?B时，cosA?2? ，所以A?； ……………………6分

6b2当C??2时，cosA?b33?，所以A?arccos ． ……………8分 c33

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

解：（1）设h?x??f?x??2x，则h?x???x2??m?2?x?1

由于h?x?是偶函数，所以对任意x?R，h??x??h?x?成立．……2分 即 ?(?x)?(m?2)(?x)?1??x?(m?2)x?1恒成立．

即 2(m?2)x?0恒成立， …………………………………3分 所以 m?2?0，解得 m??2．

所以所求实数m的值是 m??2． …………………………………4分

高三数学试卷 共4页第6页

22（2）由g?x??g(得

2?)， 32???1????2k??,k?Z ，即??3k??k?Z? ………2分 3622当x?[0,?2]时，?x???[,?]???0?，

6626???? 因为y?sinx在区间[??,]的单调递增， 62????2??，再由题设得0??? …………………………5分 所以26231所以??． ……………………………………6分

2（3）设函数f?x?在?1,2?上的值域为A，g?x?在?0,??上的值域为B， 由题意和子集的定义，得A?B．………………………………………2分 当x?[0,?]时，x???7??[,]，g(x)?[?1,2]． ………………3分 6662所以当x??1,2?时，不等式?1??x?mx?1?2恒成立，

1,x??1,2?恒成立，得m?2， x2由m?x?,x??1,2?恒成立，得m?1，

x由m?x?综上，实数m的取值范围为?1,2? ． ………………6分 其它做法，对应给分。

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

解：（1）设等差数列?an?的公差为d．由a1?1，a8?15得1?7d?15，

解得d?2． ………………………………………………………2分 则得 a2?a1?d?1?2?3，所以a?3．…………………………………………4分 （2）由S19?19a10，得 10?1?10?99?8?2?9a??2?19?(a?8)， 22解得a?2， …………………………………………2分 由an?2?an?2，且a1?1，a2?2，得

n?1?2?n； 2n?2?2?n． ………………………………………4分 当n为偶数时，an?a2?2当n为奇数时，an?a1?所以对任意n?N，都有an?n，当n?2时，an?an?1?1，

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所以数列?an?是以1为首项、1为公差的等差数列． …………………………………6分 其它解法，对应给分。 （3）由题意an?an?1， ……………………………………………1分

①当0?a?1时，a3?a2?a1?Sm，

所以对任意m?N，都有?Sm?a2??Sm?a3??0， ………………………………2分

*因此数列?an?不具有性质M． …………………………………………3分 ②当a?1时，an?1，Sn?n，

所以对任意m?N，都有?Sm?a2??Sm?a3??(m?1)?0，

*2因此数列?an?不具有性质M． ．…………………………………………4分 ③当1?a?2时，(a?1)?0?a(2?a)?1?211?a?loga?1 2?a2?a1an?1n?loga??an?Sn?an?1,

2?aa?11an?1n?loga??an?Sn?an?1

2?aa?1取?loga??1??n0(??x??表示不小于x的最小整数)，则Sn0?an0?1，Sn0?1?an0.

2?a??所以对于任意m?N*，(Sm?an0)(Sm?an0?1)?0， 即对于任意m?N，Sm都不在区间an0,an0?1内，

所以数列?an?不具有性质M． ………………………………………………6分

nan?1n?2?a?a?1?a??0，且Sn?an， ④当a?2时，Sn?an?1?a?1a?1*??即对任意的n?2(n?N)，都有?Sm?an??Sm?an?1??0，

*所以当a?2时，数列?an?具有性质M．……………………………………………7分 综上,使得数列?an?具有性质M的正实数a的集合为[2,??)． …………………8分 ③④的另解：

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