2010年全国初中数学竞赛试题与参考答案

2010年全国初中数学竞赛试题及参考答案

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．若，则的值为（ ）．

（A） （B） （C） （D）

解： 由题设得．

代数式变形，同除b

2．若实数a，b满足（A）a解．C

，则a的取值范围是（ ）．

或 a≥4 （D）

≤a≤4

（B）a4 （C）a≤

因为b是实数，所以关于b的一元二次方程

的判别式 ≥0,解得a≤或 a≥4．

方程思想，判别式定理；要解一元二次不等式

3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=则AD边的长为（ ）． （A）（C）

（B） （D）

，BC=

，CD＝

，

解：D

如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．

由已知可得

BE=AE=

于是 EF＝4＋

，CF＝．

，DF＝2，

过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得

AD勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法

＝．

4．在一列数

……中，已知

，且当k≥2时，

（取整符号（ ）．

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解：B

表示不超过实数的最大整数，例如

，

），则

等于

由和

，，……

，

，

可得

，，

，

，

因为2010=4×502+2，所以高斯函数；找规律。

=2．

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点

P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…， 则点P2010的坐标是（ ）．

（A）（2010，2） （B）（2010，（C）（2012，

）

） （D）（0，2）

解：B由已知可以得到，点

记

，其中

，

的坐标分别为（2，0），（2，

．

）．

根据对称关系，依次可以求得：

，

令

，同样可以求得，点

，的坐标为（

）．

，），即

（

．

），

由于2010=4502+2，所以点二、填空题 6．已知a＝ 解：0

的坐标为（2010，

－1，则2a＋7a－2a－12 的值等于 ．

32

由已知得 (a＋1)＝5，所以a＋2a＝4，于是

2a＋7a－2a－12＝2a＋4a＋3a－2a－12＝3a＋6a－12＝0．

7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ ． 解：15

设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为

（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得 ， ①

3

2

3

2

2

2

22

， ②

由①②，得

． ③

（分）．

，所以，x=30． 故

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ．

解：

如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N．

由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以， 过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．

于是，直线

即为所求的直线．

设直线的函数表达式为，则