2013年普通高考理科数学试题汇编-立体几何解答题 - 图文

(I)记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明;

(II)设(I)中的直线l与圆O的另一个交点为D,且点Q满足

????1????DQ?CP.记直线PQ与平面ABC所成的角为?,异面直线

2PQ与EF所成的角为?,二面角E?l?C的大小为?,求

第19题图

证:sin??sin?sin?.

解:(I)?EF?AC,AC?平面ABC,EF?平面ABC

?EF?平面ABC

又EF?平面BEF

?EF?l ?l?平面PAC

(II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)

6（．2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））如图1,在等腰直角三角形ABC中,?A?90?,BC?6,D,E分别是AC,AB上的点,CD?BE?2,O为BC的中点.将

?ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥A??BCDE,其中A?O?3.

(Ⅰ) 证明:A?O?平面BCDE; (Ⅱ) 求二面角A??CD?B的平面角的余弦值.

C

D O . E C

A 图1

(Ⅰ) 在图1中,易得OC?3,AC?32,AD?22 D B

A?

O E

图2

B

A?

C D H

O E B

连结OD,OE,在?OCD中,由余弦定理可得

OD?OC2?CD2?2OC?CDcos45??5

由翻折不变性可知A?D?22, 222所以A?O?OD?A?D,所以A?O?OD,

理可证A?O?OE, 又OD?OE?O,所以A?O?平面BCDE. (Ⅱ) 传统法:过O作OH?CD交CD的延长线于H,连结A?H, 因为A?O?平面BCDE,所以A?H?CD, 所以?A?HO为二面角A??CD?B的平面角. 结合图1可知,H为AC中点,故OH?323022,从而A?H?OH?OA??

22z A? 所以cos?A?HO?OH15?,所以二面角 A?H5C D x O E 向量法图 15. A??CD?B的平面角的余弦值为5B y 向量法:以O点为原点,建立空间直角坐标系O?xyz如图所示, 则A?0,0,3,C?0,?3,0?,D?1,?2,0?

???????????所以CA??0,3,3,DA???1,2,3

?????设n??x,y,z?为平面A?CD的法向量,则

??????????y??x?n?CA??0?3y?3z?0,即?,解得?,令x?1,得n?1,?1,3 ?????????z?3x???n?DA??0??x?2y?3z?0????由(Ⅰ) 知,OA??0,0,3为平面CDB的一个法向量,

??????????????n?OA?315所以cosn,,即二面角A??CD?B的平面角的余弦值为OA?????????53?5nOA?