[精选]2020年高考数学一轮复习高分点拨专题5.1 平面向量的概念及线性运算（文理科通用）（学生版）

5.1 平面向量的概念及线性运算

【套路秘籍】---千里之行始于足下 一．向量的有关概念

名称 定义 表示方法 向量AB或a； 注意事项 uuur既有大小又有方向的量叫做向量；向量 向量的大小叫做向量的长度(或模) uuur模|AB|或|a| 记作0 平面向量是自由向量 零向量 长度等于0的向量，方向是任意的 零向量方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 常用e表示 非零向量a的单位向量是a |a|平行向量 共线向量 方向相同或相反的非零向量 平行向量又叫共线向量 a与b共线可记为a??b 0与任一向量平行或共线 两向量只有相等或不等，不能相等向量 长度相等且方向相同的向量 a?b 比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 a??b 0的相反向量为0 二．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 交换律： a＋b＝b＋a； 加法 求两个向量和的运算 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 1

减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，a－b＝a＋(－b) λa与a的方向相同； 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 λ(μ a)＝(λμ)a； 当λ<0时，λa与a的方向相(λ＋μ)a＝λa＋μa； 反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(a＋b)＝λa＋λb

口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾； (加法平行四边形)起点相同连对角； (减法三角形)共起点，连终点，指向被减． 三．向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 四．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始 考向一 概念辨析

【例1】判断下列各命题正确的是 ： (1)单位向量都相等；

(2)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关；

→

→

(3)若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； (4)若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；

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(5)两向量a，b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 【套路总结】 1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． 2．共线向量即平行向量，它们均与起点无关． 相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量． 3．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． 4．非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量． |a||a|5．向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小． 6.零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线． 【举一反三】 1．给出下列命题：

①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；

→→

③若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；

⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中真命题的序号是________．

考向二 平面向量的线性运算

→→→→→

【例2】在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD等于( ) 21522112A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c 33333333

→→→→→→→

(2)在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝________，y＝______. →→→→

(3)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO＝xAB→

＋(1－x)AC，则x的取值范围是( )

aa?1?A.?0，? ?2?

?1?B.?0，? ?3?

3

?1?C.?－，0? ?2?

?1?D.?－，0? ?3?

【套路总结】 平面向量的线性运算 1.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来． 2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用． 3.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形； 【举一反三】

→→→

1.如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE，则用向量AB，AC表示CE为( )

2→8→A.AB＋AC 992→7→C.AB＋AC 99

→→→

2.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.

2→8→B.AB－AC 992→7→D.AB－AC 99

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