常微分方程考研讲义第三章-一阶微分方程解的存在定理

常微分方程考研讲义第三章-一阶微分方程解的存在定理

第三章 一阶微分方程解的存在定理

[教学目标]

1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解

的误差估计式。

2. 了解解的延拓定理及延拓条件。

3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。

[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时

[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标]

1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。

3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。

§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法

微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。

例如方程

dy?2y dx过点(0,0)的解就是不唯一，易知y?0是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，y?x2或更一般地，函数

?0 0?x?c y?? 2?(x?c) c

1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 （3.1）

这里f(x,y)是在矩形域：R:|x?x0|?a,|y?y0|?b （3.2） 上连续。

定理1：如果函数f(x,y)满足以下条件：1）在R上连续：2）在R上关于变量y满

dy?f(x,y) dx(x,y2)足李普希兹（Lipschitz）条件，即存在常数L?0，使对于R上任何一对点(x,y1)，

均有不等式f(x,y1)?f(x,y2)?Ly1?y2成立，则方程（3.1）存在唯一的解y??(x)，在区间|x?x0|?h上连续，而且满足初始条件

?(x0)?y0

（3.3） 其中h?min(a,b),M?maxf(x,y),L称为Lipschitz常数.

x,y?RM

思路：

1） 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程 y?y0?的连续解。

2） 构造近似解函数列{?n(x)}

任取一个连续函数?0(x)，使得|?0(x)?y0|?b，替代上述积分方程右端的

?xx0f(x,y)dx

y，得到

?1(x)?y0??xx0f(x,?0(x))dx

如果?1(x)??0(x)，那么?0(x)是积分方程的解，否则，又用?1(x)替代积分方程右端的y，得到

?2(x)?y0??xx0f(x,?1(x))dx

如果?2(x)??1(x)，那么?1(x)是积分方程的解，否则，继续进行，得到 ?n(x)?y0?（3.4）

于是得到函数序列{?n(x)}.

3） 函数序列{?n(x)}在区间[x0?h,x0?h]上一致收敛于?(x)，即 lim?n(x)??(x)

n???xx0f(x,?n?1(x))dx

存在，对(3.4)取极限,得到

lim?n(x)?y0?lim?f(x,?n?1(x))dxn??n??x0xx

=y0??f(x,?(x))dx x0即?(x)?y0??xx0f(x,?(x))dx.

4) ?(x)是积分方程y?y0??xx0f(x,y)dx在[x0?h,x0?h]上的连续解.