2020高中数学 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学设计 新人教A版必修4

2.4.1平面向量的数量积的物年级 高一 单元 第二章 课题 理背景及其含义 主备 核心问题 授课 个人修改 平面向量数量积的物理背景及其几何意义， 1.知识与技能 （1）理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义； （2）掌握平面向量数量积的性质与运算律； （3）会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角， （4）掌握向量垂直的条件.以及用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 2.过程与方法 本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物教学 三维目标 集体备课达成目标 理背景，学习“投影”后，通过设置例1让学生练习计算数量积与投影，并引导学生观察完成的表格发现数量积与投影的关系，从而得出数量积的几何意义，随后通过学生的自主学习与小组活动，探究数量积的性质与运算律。设置分层例题与分层练习，夯实基础，提升能力。 3.情感态度与价值观 通过平面向量数量积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、类比思想，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。课堂中不断培养学生自主学习、主动探索，勤于观察、思考，善于总结的态度，并提高参与意识和合作精神。 重点：平面向量数量积的概念，用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角, 教学重难点 判断向量的垂直关系。 难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学重难点 通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识的学习 突破 课前准备 学生预习完成学案。实物投影仪，多媒体课件。 个人二次备集体一备教学环节设计 课 情景引入 物理中的例子 1. 回忆物理问题 问题1：物理中力对物体所做的功是什么？功是力与力的方向上位移的乘积. 问题2：给出图示，如何计算“功”？ 通过物理做功引入 引导学生思考 课后三备 F S 观察图形思考 带着物理知识思考向量的数量积的概念 学生读目标带着目标去学习 学生说出 ?作图演示 ururW?|F||S|cos? 【设计意图】由学生所熟悉物理中的“功”开始这节课，以物理问题为背景，使学生 初步认识向量的数量积，为引入向量数量积的概念做铺垫。 2.引入新课 既然功的大小只与力的大小，位移的大小及它们的夹角有关，而力与位移都是矢量， 引入新课 urur 在数学中叫做向量，那么我们可以引入一种新的运算，用F?S来替代W，这就是平面 向量的数量积，这就是我们要学习的——2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义。 3.展示学习目标 （1）理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义； （2）掌握平面向量数量积的性质与运算律； （3）会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角， （4）掌握向量垂直的条件，以及用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 【设计意图】学习目标的展示让学生明确本节课的学习任务，从而做到心中有数。 一、新课讲授 1.向量数量积的概念明晰 展示目标 引出向量数 rrrrrr已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos?叫做a与b的数量积（或内积），记rrrrrr作a?b，即a?b?|a||b|cos? 量积 思考理解 进一步理解数量积 问题3：向量的夹角的范围；说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时， ａ与ｂ反向；【（3）当θ＝?2时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定向量夹角分析说明 加强对数量积的理解 义，两向量必须是同起点的.范围0?≤?≤180? 问题4：平面向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响向量的数量积大小的因素是什么？ （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定. （2）两个向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a?b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a?0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0.因为其中cos?有可能为0. （4）已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c a = c 如右图：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA| ? a?b = b?c 但a ? c (5)在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共 【设计意图】引导学生分析定义中的要点内容，明确数量积这一种新运算与之前所学的向量的线性运算的区别，运算结果是一个数量。 2、投影的概念 作图 投影概念 通过图示理解投影 通过分组计算得出规律 学生理解 引出新问题 学生训练 总结结论 定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为直角时投影为0；当? = 0?时投影为 |b|；当? = 180?时投影为 ?|b|. rrrrrra在b方向上的投影为acos?，b在a方向上的投影为bcos?. 问题5：向量的数量积和投影都是数量，它们什么时候为正(positive)，什么时候为负(negative)，是否可能为零呢？ 学生分为两大组分别完成例1中的任务一（男生组）与任务二（女生组）： rrrrrr例1：计算a?b以及b在a方向上的投影（?为a与b的夹角）. ra?5任 务rb?4一? 投影 数量积 0° 0° 30° 60° 90° 90° 120° 150° 180° 180° rrrrrr??当??[0,)时，a?b?0；当??(,?]时，a?b?0；当??时，a?b?0. 222rrrr问题6：你从表格中还发现了什么？你发现数量积a?b与b在a方向上的投影有什么关 系吗？ rrrrr3数量积的几何意义：数量积a?b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积. 物理中“功”的数学本质是力与位移的数量积. 【设计意图】通过例1,一方面让学生练习计算数量积与投影，巩固所学新知；另一方 r任a?3务r b?6二? 投影 数量积 ? 数量积的几何意义 面让学生通过自己的动手动脑总结归纳出问题6的答案，进而教师又提出新的问题，引导学生观察并发现数量积与投影之间的关系，从而得出数量积的几何意义，再联系课前引入得出“功”的数学本质. 4.探究数量积的性质与运算律 思考并总结 探究并记忆运算律 三生板演 纠错点评 通过补偿训练巩固 教师通过多媒体出示问题，让学生联系数量积的定义进行自主探究寻找答案，之后由学 生回答，教师点评，并说明这就是数量积的性质。 归纳出性质 ④ (a?b)?a?2a?b?b ⑤(a?b)?(a?b)?a?b 对于①的证明较为简单，学生可以完成；对于②，若按照数量积的定义展开会出现困难教师给学生提示，可以结22222rrrrrrrrrr问题7：①a?b?? ②当a与b同向时，a?b=？ 当a与b反向时，a?b=？ rrrrrrr③a?a?? 或 a?? ④cos??? ⑤a?b?ab（什么时候取等号？） 问题8：我们知道实数乘法满足交换律、结合律、分配律，数量积是一种运算，那么类比实数乘法，数量积能满足哪些运算律？你能推导出向量数量积下列运算律吗？ rrrrrrrrrrrrrrrrr①a?b?b?a；②(?a)?b??(a?b)?a?(?b)；③(a?b)?c?a?c?b?c. 探究运算律 合数量积的定义及向量的数乘运算对??0和??0两种情况下分别证明；③的证明有 难度，由师生共同完成。④、⑤的证明较简单，学生尝试证明，教材中的例题。 【设计意图】学习过数量积的概念，学生有能力完成性质的探究，因此要发挥学生的主观能动性进行自主学习；对于数量积的运算律，教师先给出它所满足的运算律，由学生小组讨论试着进行证明，学生展示过程中出现的问题及时指出，学生证明有困难时，师生合作共同完成。 二. 运用所学，解决问题 1、典例剖析 学生完成例题1、例题3、例题4 补偿训练： 引导分析 巡视点评 补偿训练 rrrrrrrr1变式题：已知a?6，b?4，(a?2b)?(a?3b)??72，求a与b的夹角？ rrrrrr2（合作探究）：已知向量a,b夹角为45?,且|a|?1,|2a?b|?10,则|b|?______ r2rrr2rrrr解：Q|2a?b|?10 ?(2a?b)?10 即4a?4a?b?b?10 rrrrr2r Q|a|?1,a,b夹角为45° ?4?4|b|cos45??|b|?10功 解得|b|?32，r|b|??2（舍去）