推理与证明

推理与证明教材分析

“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新的结论的推理过程。合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。在本模块中，学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法,包括直接证明的方法(如分析法、综合法、数学归纳法)和间接证明的方法(如反证法)；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。 一、内容与要求：

1．内容：合情推理（归纳推理、类比推理）和演绎推理（三段论）；直接证明（综合法、分析法）与间接证明（反证法）；数学归纳法。 2．课标要求：

（1）结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单

的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用；

（2）结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，

并能运用它们进行一些简单推理；

（3）通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异；

（4）结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综

合法的思考过程、特点； （5）结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、

特点；

（6）了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 3．高考考试说明： 考试内容 合情推理与 演绎推理 推理与证明 直接证明与 间接证明 数学归纳法 合情推理 归纳和类比 演绎推理 综合法 分析法 反证法 数学归纳法 要求层次 A √ B √ √ √ C √ √ √ 二、课时安排：

全章共安排3个小节，教学时间约需8课时，具体内容和课时分配如下： 2．1 合情推理与演绎推理 约3课时 2．2 直接证明与间接证明 约3课时 2．3 数学归纳法 约2课时

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三、重点、难点：

1．重点：归纳推理、类比推理、演绎推理、综合法、分析法、反证法和数学归纳法

2．难点：用归纳和类比推理进行推理，做出猜想；各种证明方法的选择；反证法证明数学命题；对数学归纳法的思想实质的理解（具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。

四、教学建议：

1．教学中应通过实例（多学科的、四色定理、费马猜想、哥德巴赫猜想、汉诺塔、九连环等），激发学生的学习兴趣，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想。教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述。

2．本模块中设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总结。在教学中，应通过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性。对证明的技巧性不宜作过高的要求。 3．教师应借助具体实例让学生了解数学归纳法的原理，对证明的问题要控制难度。

4．对于本章的教学内容贯穿于高中数学教学的始终，不是本章所特有的，因此上，我们在教学中，要将这些内容渗透到平时。 五、高考命题规律：

2013全国各省市对本章的考查共计6次，主要是以填空题和解答题的形式出现，对能力层次的要求，主要考查学生应用信息的能力以及善于挖掘数学规律的能力，考查学生的逻辑推理能力、归纳思想及应用数学知识解决问题的能力和数学思想方法的应用意识，属于难题。其中归纳、类比、演绎推理及直接证明是高考热点。对于直接证明与间接证明单独命题的可能性不大，仍然是以其他知识为载体。

六、高考试题选登：

（一）合情推理与演绎推理

1.(2013福建15)当x?R,|x|?1时，有如下表达式：1?x?x?1201201202120n2?xn??1. 1?x两边同时积分得：

?1dx??xdx??xdx?23??xdx???1201dx 1?x11?1?1?1?从而得到如下等式：1??????????22?2?3?2?请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：

231?1?????n?1?2?n?1n?1??ln2

111?1?12?1?0Cn??Cn????Cn????22?2?3?2?1n?1??Cn???n?1?2??

2．（2011福建15）设V是全体平面向量构成的集合，若映射f:V?R满足：对任意向量以及任意??R，均有f[?a?(1??)b]??f(a)?(1??)f(b) a?(x1,y1)?V,b?(x2,y2)?V，

则称映射f具有性质P。先给出如下映射： ①f1:V?R,f1(m)?x?y,m?(x,y)?V； ②f2:V?R,f2(m)?x2?y,m?(x,y)?V；

2

③f3:V?R,f3(m)?x?y?1,m?(x,y)?V.

其中，具有性质P的映射的序号为________。（写出所有具有性质P的映射的序号）

3.（2013湖北14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1，3，6，10?，

n(n?1)121?n?n.记第n个k边形数为N(n,k)(k?3)，以下列出了部分k第n个三角形数为

222边形数中第n个数的表达式：三角形数：N(n,3)?12n2?12n，

正方形数：N(n,4)?n2， 五边形数：N(n,5)?32n2?12n， 六边形数：N(n,6)?2n2?n， ??

可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)? .

4．（2013山东卷）定义“正对数”：ln＋

x＝???0，0

?现有四个命题：

?

ln x，x≥1.①若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝bln＋

a；

②若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋

b；

③若a>0，b>0，则ln＋??a?b??＋＋

?

≥lna－lnb；

④若a>0，b>0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋

b＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号) 5.（2013陕西理14）观察下列等式：12?1，

12?22??3， 12?22?32?6， 12?22?32?42??10，

?，

照此规律，第n个等式可为 6．（2011江西7）观察下列各式：55?3125,56?15625,57?78125,,则52011的末四位数字为 ( )

A．3125 B． 5625 C．0625 D．8125 7．（2011山东15）设函数f(x)?xx?2(x?0),观察： f1(x)?f(x)?xx?2,

3

x,3x?4 xf3(x)?f(f2(x))?,7x?8

xf4(x)?f(f3(x))?,15x?16f2(x)?f(f1(x))?

?根据以上事实，由归纳推理可得：当n?N且n?2时，fn(x)?f(fn?1(x))?

8．（2011湖北15）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当n?4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n?6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种，（结果用数值表示） 9．（2011陕西13）观察下列等式

1=1 2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49 ??

照此规律，第n个等式为 。

（二）直接证明：

10.（2010北京文20）已知集合Sn?{X|X?(x1,x2,…，xn),x1?{0,1},i?1,2,…,n}(n?2)对于

A?(a1,a2,…an,)，B?(b1,b2,…bn,)?Sn，

定义A与B的差为A?B?(|a1?b1|,|a2?b2|,…|an?bn|);

A与B之间的距离为d(A,B)??|a1?b1|

i?1（1）当n?5时，设A?(0,1,0,0,1),B?(1,1,1,0,0)，求A?B，d(A,B)； （2）证明：?A,B,C?Sn,有A?B?Sn，且d(A?C,B?C)?d(A,B)； （3）证明：?A,B,C?Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数。

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